[Risolto] CIROCNFERENZA

• Riscriviamo l'equazione del fascio di circonferenze nella forma

$x^2+y^2-4y-4+k(x-y+2) = 0$

La circonferenza $x^2+y^2-4y-4=0 $ ha centro C(0, 2) e raggio r = 2√2.

a. Punti base.

Risolviamo il sistema composto dalle due generatrici

$\left\{\begin{aligned} x^2+y^2-4y-4 &=0 \\ x-y+2 &= 0 \end{aligned} \right.$

per sostituzione si ottengono due soluzioni x = ± 2 a cui corrispondono:

1. $ x = -2 \quad \implies  \quad y = 0 \quad A(-2,0)$
2. $ x = 2 \quad \implies  \quad y = 4 \quad B(2,4)$

b.  Luogo dei centri.

La retta dei centri è la retta perpendicolare all'asse solidale passante per un centro di una circonferenza appartenente al fascio.

• • Asse solidale.   x - y+2 = 0 
  • Coefficiente angolare dell'asse solidale   $m_s = 1$
  • Coefficiente angolare della retta dei centri   $m_c = -1$ ($ m_s  ┴ m_c$)
  • Il centro della generatrice è C(0,2)
  • La retta dei centri sarà y-2 = -x ovvero y = -x+2

c.  Circonferenza tangente all'asse x

• • Equazione asse x.    $y = 0$
  • Punti di intersezione fascio/asse x. Si ottengono risolvendo il sistema

$\left\{\begin{aligned} x^2+y^2+kx-(k+4)y+2k-4 &=0 \\ y &= 0 \end{aligned} \right.$

$ x^2+kx+2k-4 = 0$

Imponiamo la tangenza ponendo il discriminante eguale a zero.

$ Δ = 0 \quad \implies \quad k^2 -8k+16 = 0 \quad \implies \quad k=4$

a cui corrisponde la circonferenza

$ x^2+y^2+4x-(4+4)y+8-4 =0$

$ x^2+y^2+4x-8y+4 =0$

d.  Circonferenza simmetrica rispetto alla retta AB

• • Retta AB è l'asse solidale.  

Congettura!!

Guardando il grafico direi che la generatrice $x^2+y^2-4y-4 = 0$ è simmetrica rispetto all'asse solidale. A supporto della congettura riporto in bleu la circonferenza esposta come risultato. Non mi pare che sia simmetrica alla generatrice rossa.

Verifichiamo che la congettura sia corretta, operando una trasformazione di simmetria sulla circonferenza x^2+y^2-4y-4 = 0 rispetto alla retta  x-y+2 = 0.

Indico con P il punto della circonferenza di origine e con P' il punto di arrivo.

• • Punto medio tra P e P'. $M_{PP'}( \frac{x+x'}{2}, \frac{y+y'}{2})$
  • Coefficiente angolare retta PP'. $m_{pp'} = \frac {y'-y}{x'-x}$
  • M_{PP'} deve appartenere alla retta x-y+2=0
  • M_{PP'} deve inoltre appartenere alla retta perpendicolare alla retta  x-y+2 = 0
  • Il coefficiente angolare delle retta x-y+2 = 0 vale 1. m_a = 1
  • Il coefficiente angolare perpendicolare alla retta precedente deve valere $m_{PP'} = -1$

 Riportando il tutto a sistema si dovrà risolvere

$\left\{\begin{aligned}  \frac{x+x'}{2} - ( \frac{y+y'}{2} + 2 &= 0 \\ \frac {y'-y}{x'-x} &= -1 \end{aligned} \right.$

La cui trasformazione risultante è

$\left\{\begin{aligned} x &= y' -2 \\ y  &= x'+2 \end{aligned} \right.$

che sostituita nell'equazione della circonferenza ci da l'immagine della nuova 

$(y'-2)^2 + (x+2)^2 -4(x+2)-4 =0$

$ x'^2 + y'^2 -4y-4 = 0$

La congettura è verificata.

Ma quanti esercizi vi ha dato la professoressa di matematica😂?