Scrivere l'equazione della circonferenza passante per i vertici del rettangolo avente i lati sulle rette di equazioni x - 3y + 20 = 0, 3x + y -20 = 0, x - 3y -10 = 0, 3x + y - 30 = 0. Calcolare poi l'area della superficie di cerchio che rimane togliendo il rettangolo.
Risposte : x^2 + y^2 - 14 x - 8y + 40 = 0; area = 5 (5 x 3,14 - 6).
Grazie infinite ,come sempre, a tutti coloro che vorranno leggermi e darmi, se possibile, un aiuto.
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Livello 1
Ciao Beppe,
Con riferimento alla figura, la diagonale BC del rettangolo inscritto risulta essere un diametro della circonferenza circoscritta.
Il punto B si ottiene dall'intersezione delle rette (tra loro perpendicolari)
{x-3y+20 = 0 (*)
{3x+y-30 = 0 (**)
Moltiplicando la prima equazione per ( - 3) e sommandola alla seconda otteniamo:
10y = 90
y= 9
Quindi: B(7,9)
Analogamente il punto C si ottiene dall'intersezione delle rette (tra loro perpendicolari)
{x-3y-10 = 0 (retta // alla (*))
{3x+y-20 = 0 (retta // alla (**))
Moltiplicando la prima equazione per ( - 3) e sommandola alla seconda otteniamo:
10y = - 10
y= - 1
Quindi: C(7, - 1)
Come detto BC è un diametro della circonferenza circoscritta. Il centro H è quindi il punto medio del segmento BC. Essendo B, C punti di uguale ascissa
H= (7, (Y_C+Y_B) /2) = (7,4)
La lunghezza del diametro è:
BC= modulo (Y_B - Y_C) = 10
Quindi: r=5
Possiamo quindi scrivere l'equazione della circonferenza a partire dalle coordinate del centro H e del raggio r.
(x - X_H) ² + (y - Y_H) ² = r²
Sostituendo i valori numerici otteniamo
(x - 7)² + (y - 4)² = 5²
x² + y² - 14x - 8y + 40 = 0
Dalle intersezioni delle rette
{x-3y+20 = 0
{3x+y-20 = 0
troviamo A(4,8)
Dalle intersezioni delle rette
{x-3y-10 = 0
{3x+y-30 = 0
troviamo D(10,0)
Utilizziamo la formula della distanza tra due punti per trovare le dimensioni del rettangolo
AB= radice (10)
BD = radice (90) = 3*radice (10)
Quindi l'area del rettangolo è 30
La superficie richiesta è quindi
S= pi* R² - 30 = 25*pi - 30
Buona serata!
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Genius II
@StefanoPescetto
ho cominciato ad essere pignolo all'asilo; quado facevo la terza elementare la mia bisnonna me lo contestò, ma io ero troppo piccolo per rendermene conto; poi me l'hanno contestato maestri e professori di medie, liceo e università (fino ad Antonio Ruberti, che però accolse le mie obiezioni e mi diede ragione) e poi generazioni di alunni, colleghi e presidi: non so che farci, mi viene d'istinto.
Terminate le scuse preventive, arriva l'obiezione: dire che "la diagonale BC del rettangolo inscritto risulta essere congruente al diametro" è fuorviante per l'alunno perché si tratta di identità e non di congruenza; le diagonali dei rettangoli SONO diametri dei loro circumcerchi. Spero che tu sia d'accordo.
Certamente! Non c'è bisogno di nessuna scusa preventiva. Apprezzo le tue considerazioni e correzioni. Buona serata
@stefanopescetto 👍👍👍👍
Ciao di nuovo.
{x - 3·y + 20 = 0
{3·x + y - 20 = 0
rette fra loro perpendicolari: 1·3 - 3·1 = 0
Risolvendo si ottiene: [x = 4 ∧ y = 8]------> A(4,8)
{x - 3·y + 20 = 0
{3·x + y - 30 = 0
rette perpendicolari: 1·3 - 3·1 = 0
Risolvendo si ottiene: [x = 7 ∧ y = 9]------> B(7,9)
{x - 3·y - 10 = 0
{3·x + y - 30 = 0
rette perpendicolari: 1·3 - 3·1 = 0
Risolvendo si ottiene:[x = 10 ∧ y = 0]------> C(10,0)
{3·x + y - 20 = 0
{x - 3·y - 10 = 0
retta fra loro perpendicolari: 3·1 + 1·(-3) = 0
Risolvendo si ottiene: [x = 7 ∧ y = -1]-----> D(7,-1)
x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0
Imponendo il passaggio per 3 punti:
{4^2 + 8^2 + a·4 + b·8 + c = 0
{7^2 + 9^2 + a·7 + b·9 + c = 0
{10^2 + 0^2 + a·10 + b·0 + c = 0
quindi per A, B, C si ottiene il sistema:
{4·a + 8·b + c = -80
{7·a + 9·b + c = -130
{10·a + c = -100
che fornisce soluzione: [a = -14 ∧ b = -8 ∧ c = 40]
Quindi circonferenza:
x^2 + y^2 - 14·x - 8·y + 40 = 0
da cui si riconosce:
Centro: [7, 4]
e raggio: r = √(7^2 + 4^2 - 40)-----> r = 5
Superficie circonferenza: Αc = pi·r^2------> Αc = 25·pi
Calcolo area rettangolo
[4, 8]
[7, 9]
[10, 0]
[4, 8]
Ar= 1/2·ABS(4·9 + 7·0 + 10·(-1) + 7·8 - (4·(-1) + 7·0 + 10·9 + 7·8))
Αr = 30
A richiesta= Ac-Ar=25·pi - 30-------> Α = 5·(5·pi - 6)
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Genius II
@lucianop👍👍👍
