[Risolto] Circonferenza e retta: dimostrazione

Allora per quanto riguarda la dimostrazione deve essere più preciso. Supponi per assurdo che non è vero che OH>OP, ovvero supponi che OH≤OP. Quindi puoi avere due casi:                                                                                     

1) OH=OP                                                                                                             

2) OH<OP 

CASO 1). Se OH=OP, allora il punto H appartiene alla circonferenza, mentre ogni altro punto Q della retta s è esterno alla circonferenza poichè  hai che il triangolo OHQ è rettangolo in H e ipotenusa OQ>OH=OP. Quindi in questo caso hai che la retta s ha solo il punto H in comune con la circonferenza, quindi la retta è tangente alla circonferenza e ciò è assurdo.                                                                                 

CASO 2). Se OH<OP, allora il punto H è interno alla circonferenza. Osserva che il punto H divide la retta s in due semirette che hanno origine nel punto H. Su una qualsiasi di queste due semirette consideriamo un punto Q tale che HQ=OP. Allora il triangolo OHQ è rettangolo in H e ipotenusa OQ>HQ=OP, cioè OQ è maggiore del raggio, e pertanto il punto Q è esterno alla circonferenza. Poichè H è interno alla circonferenza e Q è esterno alla circonferenza, il segmento HQ che appartiene alla retta s, interseca la circonferenza in un punto R, ma questo è assurdo poichè abbiamo supposto per ipotesi che la retta è esterna alla circonferenza e quindi tutti i punti della retta devono essere necessariamente esterni alla circonferenza.

Una retta è esterna ad una circonferenza se tutti i suoi punti sono esterni alla circonferenza. Quindi la tua ipotesi è questa e attraverso questa ipotesi che devi dimostrare la tua tesi che è OP<OH. Tu lo vedi visivamente dal disegno che i punti O, P ed H sono allineati, ma tu quando dimostri qualcosa devi far finta che il disegno non ce l'hai presente. Se noti la mia dimostrazione, non ho mai fatto riferimento al disegno. Quando ho detto il triangolo OHQ è rettangolo in H, l'ho potuto affermare non dal disegno ma dal fatto che il segmento OH è ortogonale alla retta s. Tu hai disegnato la retta s in quel modo, ma nulla vieta di disegnarla in altro modo la retta s, come anche la circonferenza. Ci sono infiniti modi di disegnare una circonferenza e una retta esterna ad essa, quindi non ti puoi limitare ad un unico disegno se vuoi dimostrare la tesi per via geometrica, il tuo è solamente un disegno che rappresenta una ben determinata situazione. Ma chi ci dice che disegnando la retta e la circonferenza in un altro modo, i punti O, P e H siano non allineati? Questo è il concetto.