circonferenza

@stefagnagaga

Primo metodo. 

Sfruttando le proprietà geometriche della circonferenza, il raggio vettore congiungente il centro O con il punto di tangenza risulta ivi perpendicolare alla tangente condotta nel punto alla conica. 

 

Il centro della circonferenza ha coordinate C=( - 4,3)

Determino quindi il coefficiente angolare dei due raggi vettori passanti rispettivamente per O(0,0) ed A(0,6)

 

m_CO = - 3/4

Quindi la retta tangente alla circonferenza in O si determina scrivendo il fascio di rette con centro O e imponendo poi che il coefficiente angolare della retta sia M_t = 4/3

La retta è quindi: y= (4/3)*x

 

Procedimento analogo per il secondo punto A(0,6)

 

m_CA = 3/4

 

Quindi l'equazione della retta tangente è:

y - yA = - (4/3)*x 

y= 6 - (4/3)*x

 

Secondo metodo. 

Formule di sdoppiamento. 

 

I punti di intersezione della circonferenza con l'asse y si trovano mettendo a sistema l'equazione della circonferenza e la retta x=0

Dal sistema si ricavano le equazioni dei punti 

O(0,0)

A(0,6)

 

Utilizziamo le formule di sdoppiamento:

x² - > x0*x

y² - > y0*y

x - > (x+x0) /2

y - > (y+y0) /2

 

Quindi con:

O=(x0 = 0, y0 = 0) 

 

si ricava la retta tangente di equazione:

8*x/2 - 6*y/2 = 0

4x - 3y = 0

y= (4/3)*x

 

Con A=(x0 = 0, y0 = 6) 

 

si ricava l'equazione della retta tangente:

6y + 8*x/2 - 6*[(y+6)/2] = 0

4x + 3y - 18 = 0

y = 6 - (4/3)*x

L'asse y è x = 0.
La circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 + 8*x - 6*y = 0 ≡ (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 5^2
centrata in C(- 4, 3) e di raggio r = 5, lo interseca nelle ordinate radici di
* (0 + 4)^2 + (y - 3)^2 = 5^2 ≡ (y = 0) oppure (y = 6)
quindi i punti di tangenza richiesti sono
* T1(0, 0) oppure T2(0, 6)
che, essendo su Γ per costruzione, hanno per tangente la loro retta polare p(Γ, T) rispetto a Γ.
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La polare p(Γ, P) del polo P(u, v) si calcola dalla forma canonica di Γ per sdoppiamento
* p(Γ, P) ≡ (x + 4)*u + (y - 3)*v + 4*x - 3*y = 0
quindi
* p(Γ, T1) ≡ 4*x - 3*y = 0 ≡ y = (4/3)*x
* p(Γ, T2) ≡ (y - 3)*6 + 4*x - 3*y = 0 ≡ y = 6 - (4/3)*x
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Da
* Γ ≡ x^2 + y^2 + 8*x - 6*y = 0 ≡ (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 5^2 ≡
≡ y = 3 ± √(- (x + 9)*(x - 1))
si calcolano le pendenze
* m(x) = ± d/dx √(- (x + 9)*(x - 1)) = ± (x + 4)/√(- (x + 9)*(x - 1))
che sull'asse y valgono
* m(0) = ± (0 + 4)/√(- (0 + 9)*(0 - 1)) = ± 4/3
da cui le tangenti per T1 e T2
* per T1(0, 0): y = (4/3)*x
* per T2(0, 6): y = 6 - (4/3)*x
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ESAURITI I METODI SEMPLICI, passo a quelli (più macchinosi) richiesti.
Per entrambi, la retta generica per P(u, v) è y = v + m*(x - u), escludendo l'asse y.
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1) metodo delta = 0
Sistema
* (y = v + m*(x - u)) & ((x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 5^2)
Risolvente
* (x + 4)^2 + (v + m*(x - u) - 3)^2 - 25 = 0
Discriminante
* Δ(m, u, v) = - 4*((m*(u + 4) - v + 3)^2 - 25*(m^2 + 1))
Vincolo di tangenza
* Δ = (m*(u + 4) - v + 3)^2 - 25*(m^2 + 1) = 0
da risolvere in m caso per caso.
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1a) P(u, v) = T1(0, 0)
* Δ = (m*(0 + 4) - 0 + 3)^2 - 25*(m^2 + 1) = 0 ≡ m = 4/3
* y = 0 + (4/3)*(x - 0) ≡ y = (4/3)*x
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1b) P(u, v) = T2(0, 6)
* Δ = (m*(0 + 4) - 6 + 3)^2 - 25*(m^2 + 1) = 0 ≡ m = - 4/3
* y = 6 + (- 4/3)*(x - 0) ≡ y = 6 - (4/3)*x
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2) distanza retta-centro uguale al raggio
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La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
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UFFA, che barba!

@stefagnagaga

Ciao di nuovo.

Disegno in allegato:

scrivi le equazioni delle tangenti alla circonferenza di equazione x^2+y^2+8x-6y=0 nei suoi punti di intersezione con asse y 

1)metodo delta =0

2)distanza retta- centro uguale al raggio

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{x^2 + y^2 + 8·x - 6·y = 0

{x = 0

Risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = 0, x = 0 ∧ y = 6]

Quindi: [0, 0] e [0, 6]

retta tangente per O(0,0) (l'equazione è mancante del termine noto: c=0)

{x^2 + y^2 + 8·x - 6·y = 0

{y = m·x

Procedo per sostituzione

x^2 + (m·x)^2 + 8·x - 6·(m·x) = 0

x^2·(m^2 + 1) + 2·x·(4 - 3·m) = 0

a = m^2 + 1

b/2 = 4 - 3·m

c = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

Δ/4 = (4 - 3·m)^2-----> (4 - 3·m)^2 = 0----> m = 4/3 radice doppia

y = 4/3·x

analogamente:

{x^2 + y^2 + 8·x - 6·y = 0

{y - 6 = m·x

procedo per sostituzione:  y = m·x + 6

x^2 + (m·x + 6)^2 + 8·x - 6·(m·x + 6) = 0

x^2·(m^2 + 1) + 2·x·(3·m + 4) = 0

Δ/4 = 0

Δ/4 = (3·m + 4)^2

(3·m + 4)^2 = 0------> m = - 4/3 radice doppia

y = 6 - 4·x/3

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x^2 + y^2 + 8·x - 6·y = 0

coordinate del centro: [-4, 3]

r = √(α^2 + β^2 - c)-----> r = √((-4)^2 + 3^2 - 0)----> r = 5

retta per origine: y = m·x-----> m·x - y = 0

r = d = ABS(- 4·m - 3)/√(m^2 + (-1)^2)

ABS(4·m + 3)/√(m^2 + 1) = 5

Risolvo ed ottengo: m = 4/3

Quindi y=4/3*x

Altra retta: y = m·x + 6-----> m·x - y + 6 = 0

r = d = ABS(- 4·m - 3 + 6)/√(m^2 + (-1)^2) = 5

ABS(4·m - 3)/√(m^2 + 1) = 5 risolvo ed ottengo

m = - 4/3----------> y = (- 4/3)·x + 6------> y = 6 - 4·x/3