[Risolto] CIRCONFERENZA

Ciaooo

@lenaooo

Vedi disegno allegato:

 

Determino l'asse del segmento AB tramite relativa definizione:

√((x - 2)^2 + (y + 4)^2) = √((x - 0)^2 + (y + 2)^2)

elevo al quadrato e sviluppo:

(x^2 - 4·x + 4) + (y^2 + 8·y + 16) = x^2 + (y^2 + 4·y + 4)

ottengo:

x^2 - 4·x + y^2 + 8·y + 20 = x^2 + y^2 + 4·y + 4

y = x - 4

Centro della circonferenza:

{y = x - 4

{x=3

C(3,-1)

Raggio della circonferenza

r=√((2 - 3)^2 + (-4 + 1)^2) = √10

Equazione cartesiana della circonferenza:

(x-3)^2+(y+1)^2=10

equazione implicita:

x^2 + y^2 - 6·x + 2·y = 0

 

RIPASSI
---------------
Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
---------------
Tutti e soli i punti P(x, y) equidistanti da due dati punti A(a, p) e B(b, q) giacciono sull'asse del segmento AB
* Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
* Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
------------------------------
ESERCIZIO
---------------
Ogni circonferenza per i punti A(2, - 4) e B(0, - 2) ha il centro sull'asse del segmento AB che, avendo estremi di ordinate differenti, ha forma
* y = (2*(0 - 2)*x + 2^2 - 0^2 + (- 4)^2 - (- 2)^2)/(2*((- 4) - (- 2))) ≡
≡ y = x - 4
---------------
La circonferenza che ha centro di ascissa 3, cioè C(3, b), ha forma
* Γ ≡ (x - 3)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
Per x = a = 3 si ha b = y = 3 - 4 = - 1, quindi C(3, - 1), e
* Γ ≡ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = q = r^2
---------------
E infine, dalla comune distanza
* |CA| = |CB| = √10
si ha
* Γ ≡ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 10 ≡
≡ x^2 - 6*x + y^2 + 2*y = 0