[Risolto] Circonferenza 4

Considerazione della circonferenza (y: → γ ≡)
* γ ≡ x^2 + y^2 + 2*x - 6*y + 8 = 0 ≡ 5*x^2 + 5*y^2 + 10*x - 30*y + 40 = 0 ≡ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 2
* centro C(- 1, 3)
* raggio r = √2
Fascio proprio di rette di centro P(- 1, 1)
* x = - 1
oppure
* r(k) ≡ y = 1 + k*(x + 1)
per ogni pendenza k reale. Cioè
* (x = - 1) ∨ (y = 1 + k*(x + 1))
Esame dei quesiti
a) "le rette che distano dar(10)/5 dal centro C di y" ≡
≡ le rette a distanza d = √10/5 da C(- 1, 3) sono quelle tangenti la
* Γ1 ≡ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 2/5 = (√10/5)^2 ≡ 5*x^2 + 5*y^2 + 10*x - 30*y + 48 = 0
b) "rette tangenti a y" ≡ rette tangenti γ
c) "rette che staccano su y una corda di 2rad(6/5)" ≡
≡ le rette che staccano su γ una corda di misura 2*√(6/5) sono quelle tangenti la
* Γ2 ≡ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 4/5 = (2/√5)^2 ≡ 5*x^2 + 5*y^2 + 10*x - 30*y + 46 = 0
in quanto nella circonferenza di raggio r dove la corda lunga c dista d dal centro vale la relazione pitagorica
* r^2 = d^2 + (c/2)^2 ≡
≡ (√2)^2 = d^2 + ((2*√(6/5))/2)^2 ≡
≡ d^2 = (√2)^2 - ((2*√(6/5))/2)^2 = 4/5 ≡
≡ d = (√2)^2 - ((2*√(6/5))/2)^2 = 2/√5
Pertanto, per soddisfare alle tre consegne, occorre e basta determinare le rette per P(- 1, 1) tangenti le tre circonferenze
* Γ0 ≡ 5*x^2 + 5*y^2 + 10*x - 30*y + 40 = 0
* Γ1 ≡ 5*x^2 + 5*y^2 + 10*x - 30*y + 48 = 0
* Γ2 ≡ 5*x^2 + 5*y^2 + 10*x - 30*y + 46 = 0
Risposte ai quesiti
Essendo C e P allineati sulla x = - 1 questa risulta retta diametrale di ognuna delle Γ —che si differenziano solo per il termine noto h ∈ {40, 46, 48}— quindi basta esaminare i sistemi
* r(k) & Γ(h) ≡
≡ (y = 1 + k*(x + 1)) & (5*x^2 + 5*y^2 + 10*x - 30*y + h = 0)
e imporre che la risolvente
* 5*x^2 + 5*(1 + k*(x + 1))^2 + 10*x - 30*(1 + k*(x + 1)) + h = 0 ≡
≡ (k^2 + 1)*x^2 + 2*((k - 1)^2)*x + h/5 + (k^2 - 4*k - 5) = 0
abbia discriminante zero
* Δ(h, k) = - (4/5)*((h - 50)*k^2 + h - 30) = 0 ≡
≡ (k = ± √((30 - h)/(h - 50))) & (30 <= h < 50)
quindi
* Γ0: k = ± √((30 - 40)/(40 - 50)) = ± 1 → r(± 1) ≡ y = 1 ± 1*(x + 1)
* Γ1: k = ± √((30 - 48)/(48 - 50)) = ± 3 → r(± 3) ≡ y = 1 ± 3*(x + 1)
* Γ2: k = ± √((30 - 46)/(46 - 50)) = ± 2 → r(± 2) ≡ y = 1 ± 2*(x + 1)

Sia L la lunghezza della corda intercettata

y - 1 = m(x + 1)

y = mx + m + 1

x^2 + (mx + m + 1)^2 + 2x - 6(mx + m + 1) + 8 = 0

x^2 + m^2x^2 + m^2 + 1 + 2 m^2x + 2m + 2mx + 2x - 6mx - 6m - 6 + 8 = 0

(1 + m^2) x^2 + 2m^2 x - 4mx + 2x + m^2 - 4m + 3 = 0

(1 + m^2) x^2 + 2(m^2 - 2m + 1) x + (m^2 - 4m + 3) = 0

D = 4(m - 1)^4 - 4(m^2 + 1) (m^2 - 4m + 3) =

= 4[ m^4 - 4m^3 + 6m^2 - 4m + 1 - (m^4 - 4m^3 + 3m^2 + m^2 - 4m + 3) ] =

= 4 [ m^4 - 4m^3 + 2 m^2 - 4m + 1 - m^4 + 4 m^3 - 4m^2 + 4m - 3 ] =

= 4(2m^2-2) = 8 (m^2 - 1)

la lunghezza della corda intercettata é L = rad(D)/|A| * rad(1 + m^2) =

rad[8(m^2-1)]/(1+m^2) * rad(1 + m^2) = 2 rad [2(m^2-1)/(m^2 +1) ]

Ora r^2 = 2^2/4 + 6^2/4 - 8 = 1 + 9 - 8 = 2

a) L = 2 rad (2 - 10/25) = 2 rad (8/5) per il teorema di Pitagora

2(m^2-1)/(m^2+1) = 8/5

10 m^2 - 10 = 8 m^2 + 8

2m^2 = 18

m^2 = 9

m = +-3

b) D = 0

m^2 - 1 = 0

m =-1 V m = 1 le tangenti sono

y = -x

y = x + 2

v. figura

c) 2(m^2-1)/(m^2+1) = 6/5

10 m^2 - 10 = 6m^2 + 6

4m^2 = 16

m^2 = 4

m = +-2

y = 2x + 3

y = -2x - 1

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