[Risolto] Rombo e diagonali

Trattasi di un deltoide (od aquilone)

300 = (D*2D/3)/2 = D^2/3

900 = D^2

D = √900 = 30 cm 

d = 30*2/3 = 20 cm 

angolo in B = angolo in D = 108°

angolo in A = 90°

angolo in C = 360-(2*108+90) = 54°

Si tratta di un deltoide o aquilone : le diagonali sono perpendicolari

ma i lati opposti non sono paralleli. Data la simmetria della figura

rispetto ad AC, B^ = D^ = 108° e C^ = 360° - (2*108° + 90°) =

= 360° - (216° + 90°) = 360° - 306° = 54°;

L'area é data da 1/2 * AC*BD (metà di quella del rettangolo in cui é

inscritto) ... pertanto AC * BD = 600 cm^2.

Se dividi BD in due parti uguali, AC corrisponde a 3 di tali parti.

Di conseguenza il rettangolo di lati AC, BD

é equivalente a un set di 2x3 = 6 quadrati

ognuno dei quali ha l'area di 600 : 6 cm^2 = 100 cm^2

e quindi il lato di sqrt(100) cm = 10 cm.

Per cui AC = 3 parti = 30 cm e BD = 2 parti = 20 cm.

L'area del quadrilatero è

\[\mathcal{A} = \frac{1}{2}d_1 d_2 \:\Bigg|_{d_2 = \frac{2}{3}d_1}^{\mathcal{A} = 300\: cm^2} \implies 900 = d_1^2 \iff d_1 = 30\:cm\,;\]

allora

\[d_2 = \frac{2}{3}d_1 = 20\:cm\,.\]

Per trovare gli angoli è banale, in quanto si parla di un deltoide convesso.

Osservazione della figura
C'è un quadrilatero di vertici {A, B, C, D}, corrispondenti angoli interni {α = 90°, β, γ, δ = 108°}, lati a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|, d = |DA|, diagonali x = |AC| e y = |BD| marcate come ortogonali che s'intersecano in H; l'angolo γ è marcato con un archetto, come δ che ha accanto la misura 108°, ma β non lo è; c'è un quadretto sul vertice A (α = 90°) a indicare ortogonalità fra a e d e sul punto H a indicarla fra le diagonali; manca qualsiasi marca di congruenza fra i segmenti, nemmeno una quadrettatura di fondo. La diagonale AC passa per il vertice del quadretto opposto ad A indicando che AC è bisettrice di α.
Quesiti
Dei tre quesiti solo il terzo presenta dati sufficienti a una risposta diretta in quanto ogni quadrilatero con diagonali ortogonali ha area S che è il loro semiprodotto
* S = x*y/2 ≡
≡ 300 cm^2 = x*(2*x/3)/2 ≡
≡ x = 30 cm → y = 20 cm
Per il primo quesito, tipizzazione di ABCD, la carenza di dati sui segmenti impedisce una risposta diretta.
La diversità delle diagonali ortogonali è compatibile sia col tipo aquilone (se h = |BH| = |HD| = k) che col tipo rombo (se a = b = c = d), ma per affermarlo si deve prima dimostrare una delle due condizioni.
Il secondo quesito, misure delle ampiezze di β e γ, dipende dalla risoluzione del primo: senza di che si può solo dire che β + γ = 162°.
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Intervallo
Ho dato un refresh alla pagina ed ho scoperto due risposte dovute @Enrico_Bufacchi e @EidosM che si basano su ipotesi non desumibili dall'osservazione della figura.
Infatti sia "si parla di un deltoide convesso" che "Si tratta di un deltoide o aquilone" sono affermazioni del tutto ingiustificate in assenza della dimostrazione che h = k.
Sono vecchio e un bel po' rimbambito, però non mi sembra d'aver visto alcuna marca di congruenza.
Rinfacciato non sia, è solo per chiarirlo @Impazzita.
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Ripresa
Se AH è bisettrice di α allora il triangolo ABD è metà quadrato e ciò implica h = k.
NOTA: questa dimostrazione è debolissima in quanto si basa sulla convenzione non dichiarata che, per marcare un angolo retto, i disegnatori usino (per qualche norma UNI) tracciare un quadrato con un vertice e due lati su quelli dell'angolo retto.
Si può affermare che ABCD è un aquilone solo se si accetta la validità di tale debole dimostrazione.
In tal caso β = δ = 108° e γ = 162° - 108° = 54°.