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[Risolto] circonferenza

  

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 qualcuno mi darebbe una mano con questi due esercizi? ringrazio tanto chi lo farà

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Ciao!

Esercizio 370 

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Ricordiamo che la retta tangente è sempre perpendicolare al raggio. Quindi, conoscendo il coefficiente angolare del raggio possiamo facilmente ricavare quello della retta tangente. 
Per ricavare il coefficiente angolare del raggio ci servono due punti, il centro e un punto sulla circonferenza. Il punto sulla circonferenza è proprio $P$ in cui dobbiamo fare la tangente, mentre il centro possiamo calcolarlo con

$C = (-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}) =(-\frac{4}{2}; - \frac{-4}{2}) = (-2; 2) $

(che è anche coerente con il disegno).

Calcoliamo il coefficiente angolare del raggio:

$m_{r} = \frac{y_C-y_P}{x_C-x_P} = \frac{2+1}{-2+3} = 3 $

quindi il coefficient angolare della retta tangente alla circonferenza è $-\frac13$

allora: $y-y_P = -\frac13 ( x-x_P)$

$y+1 = -\frac13(x+3) $

$y = -\frac13 x -2 $

Per quanto riguarda le rette tangenti passanti per $A(0; -2)$, usiamo la tecnica del $\Delta = 0 $: scriviamo l'espressione della generica retta passante per $A$, facciamo l'intersezione con la circonferenza e imponiamo che la retta abbia un'unica intersezione con la circonferenza, quindi che sia tangente. Questa imposizione si traduce nell'imporre che un'equazione di secondo grado abbia un'unica soluzione, cioè $\Delta = 0 $. 

Retta generica passante per $A$: $y = mx+q $-

$-2= 0 + q $ cioè $q = -2 $ 

quindi la retta generica è $y = mx-2$ e dovremmo quindi identificarne il coefficiente angolare. 

Intersechiamo con la circonferenza:

$\begin{cases} y = mx-2 \\ x^2+y^2+4x-4y-2 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} y = mx-2 \\ x^2+(mx-2)^2+4x-4(mx-2)-2 = 0 \end{cases}$

che ci porta a risolvere 

$ x^2+(mx-2)^2+4x-4(mx-2)-2 = 0$

$x^2+m^2x^2+4-4mx +4 -4mx+8-2= 0 $

$x^2(1+m^2)+x (-8m+4)+10= 0 $

che deve avere un'unica soluzione, quindi $\Delta = 0 $ cioè

$b^2-4ac = 0 $
$(-8m+4)^2-4(1+m^2)(10)=0$

$ 64m^2+16-64m -40 -40m^2 = 0 $

$24m^2 -64m -24 = 0 $

$3m^2-8m -3 = 0 $

che ha soluzioni: $m_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64+36}}{6} $

$m_1 = 3 \vee m_2 = -\frac13 $

quindi le due rette tangenti sono:

$y = m_1 x -2 \Rightarrow y = 3x-2 $

$y = m_2 x-2 = y = -\frac13 x -2 $

 

Esericizio 371 

Per determinare la circonferenza passante per tre punti possiamo imporre il passaggio nell'equazione generica della circonferenza $x^2+y^2+ax+by+c = 0 $. Ricordiamoci che per tre punti passa una e una sola circonferenza, quindi questo metodo sarà sufficiente. 

Per imporre il passaggio per un punto basta sostituire i valori delle coordinate del punto nella circonferenza; facciamolo per tutti e 3 i punti e mettiamolo a sistema, dato che devono valere tutti e 3 contemporaneamente: 

$\begin{cases} (-3)^2+2^2+a(-3)+b(2)+c = 0 \text{       punto A } \\ 1^2+(-2)^2+a(1)+b(-2)+c = 0 \text{       punto B } \\  1^2+2^2+a(1)+b(2)+c = 0 \text{       punto C }        \end{cases} $

$\begin{cases} 9+4-3a+2b+c = 0 \\ 1+4+a-2b+c = 0 \\  1+4+a++2b+c = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} c = -13+3a-2b \\ 5+a-2b-13+3a-2b = 0 \\ 5+a++2b-13+3a-2b = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} c = -13+3a-2b \\ 4a-4b-8 = 0 \\  4a-8=  0 \end{cases} $

$\begin{cases} c = -13+3(2)-2b \\ 4(2)-4b-8 = 0 \\  a = 2   \end{cases} $

$\begin{cases} c = -7-2b \\ b = 0 \\  a = 2   \end{cases} $

$\begin{cases} c = -7 \\ b = 0 \\  a = 2   \end{cases} $

Quindi l'equazione che stavamo cercando è $x^2+y^2+2x-7 =0$

Il centro della circonferenza è 

$C = (-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}) =(-\frac{2}{2}; - \frac{0}{2}) = (-1; 0) $

la retta passante per $(3;4)$ e parallela a $y = -x+1$ è la retta passante per $(3;4)$ con coefficiente angolare $-1$, cioè

$y -4 = -1(x-3)$

$y = -x +7 $

Calcoliamo la distanza con il centro mediante la formula della distanza punto-retta:

$d = \frac{|x_C \cdot a+y_C\cdot b + c |}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 

dove $a$, $b$ sono i coefficenti della retta scritta in modo implicito $by+ax+c = 0$ cioè nel nostro caso

$a=1$, $b=1$, $c = -7 $:

$d = \frac{|-1(1)+0(1)-7|}{\sqrt{2}} = \frac{|-8|}{\sqrt{2}}= \frac{8}{\sqrt{2}}$

Razionalizzando: 

$\frac{8}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$




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  • Ti allego il primo esercizio...se non ti è chiaro qualche passaggio scrivimi?
    15886717923172109404773
    1588671849653133735408
    1588671866547682170530

     

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Ecco il secondo:

15886734020471339876571
1588673434905 339099165

 




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20200505 101436
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