[Risolto] Intervalli di convergenza

Ciao!

Io li farei usando criterio del rapporto o criterio della radice sul termine generale della serie $a_n$, dove 

$\sum_{n} a_n (x-x_C)^n$ 

nel tuo caso sembra che siano tutti già "pronti" per essere studiati e la determinazione di $a_n$ si vede proprio a occhio.

Esercizio 1

Con il criterio del rapporto:

Quindi l'intervallo di convergenza è, in generale $(-1;1)$. 
Se $x = 1$ la serie è asintotica a $\sum (-1)^n \frac{1^n}{n}$ che converge, quindi $1$ può essere aggiunto all'intervallo di convergenza.

Viceversa se $x = -1$ otteniamo la serie $\sum (-1)^n \frac{(-1)^n}{n} = \sum \frac{1}{n}$ , che non converge.

Quindi $I = (-1; 1]$.

Esercizio 2

La serie è asintotica a quella di termine $\frac{x^n}{\sqrt{n}}$ che diverge se $ x= \pm 1 $, quindi $I = (-1;1)$. 

Esercizio 3 

Il termine generale non è infinitesimo infatti il suo limite fa $1$, quindi non converge mai fuorché nel punto di centro della serie cioè $x = 0$. 

Esercizio 4

In $x = 3$ la serie converge perché diventa $\frac{1}{2^n+3^n}$, mentre in $x= -3$ non converge perché diventa $\frac{(-5)^n}{2^n+3^n} = \frac{(-1)^n 5^n}{2^n+3^n}$ il cui valore assoluto non è infinitesimo quindi non converge perché non soddisfa il criterio di Leibnitz. 

Esercizio 5

Come ho scritto gli intervalli di convergenza sono $[-k; k]$ per ogni $k \geq 0 $.

Esercizio 6 

Converge solo nel suo centro cioè $x= -1$ perché il termine generale non è infinitesimo! 

Grazie mille precisissimo!

Una cosa, ma nell'es 2) $x_0=-1$ o sbaglio? L'intervallo non dovrebbe essere (-2,0)?