[Risolto] Circonferenza 2

Ciao! Dato che chiede LA retta tangente, il punto $D$ deve appartanere alla circonferenza. In questo caso però non è vero, quindi ho supposto che tu abbia letto male e che il punto fosse $ D(-1; 2)$

$\gamma:x^2+y^2+x-y-2=0$

Data l'equazone di una generica circonferenza: $x^2+y^2+ax+by+c = 0$, per trovare il centro usiamo la formula $C = (-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}) = (-\frac12; +\frac12) $

Per determinare il raggio: $ r = \sqrt{x_c^2+y_c^2 -c} = \sqrt{ \frac14+\frac14+2} = \sqrt{\frac32}$

Determiniamo se il punto $D(-1;2)$ appartiene alla circonferenza: $1^2+2^2-1-2-2 = 1+4-1-4 = 0$

La retta che collega il centro e il punto  ha coefficiente angolare:

$m_{CD} = \frac{y_c-y_D}{x_C-x_D} = \frac{ -\frac32}{+\frac12} = -3$

Quindi il coefficiene angolare della retta tangente è $m_t = \frac13$

da cui la retta tangente è:

$y-y_D = m_t (x-x_D)$

$y-2 = +frac13 (x+1) $

$y = +\frac13 x +\frac13+2$

$y =+\frac13 x+\frac73$

Per calcolare l'intersezione con l'asse $x$ sostituiamo nell'equazione della circonferenza $y = 0$, ottenendo:

$x^2+x-2 = 0 $ che ci dà

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1\pm 3}{2} \Rightarrow $

$x = 1 \vee x = -2 $

quindi interseca l'asse $x$ nei punti $A = (-2; 0)$, $B = (1;0)$ 

Per l'intersezione con l'asse $y$ sostituiamo nell'equazione della circonferenza $x = 0$ ottenendo:

$y^2-y-2$ che ci dà

$y_{1,2} = \frac{+1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{+1\pm 3}{2} \Rightarrow $

$y= 2 \vee y= -1 $

quindi interseca l'asse $y$ nei punti $E = (0;-1)$, $F = (0; 2)$