[Risolto] Circonferenza 3

Ciao

Due circonferenze possono essere secanti in due punti, tangenti in uno stesso punto

(esternamente o internamente), una interna all’altra (non concentriche oppure

concentriche), esterne.

Troviamo l’equazione dell’asse radicale.

moltiplichiamo la prima circonferenza per 2:

$\gamma_1: 2(x^2+y^2+3x-y-2)=0 \rightarrow 2x^2+2y^2+6x-2y+4=0$

sottraiamo membro a membro le due equazioni:

$\ominus \begin{cases} 2x^2+2y^2+6x-2y-4=0 \\ 2x^2+2y^2-x-y=0 \end{cases}$

$6x-2y-4+x+y=0$

$7x-y-4=0$

L'asse radicale ha equazione

$y=7x-4$

Determiniamo i punti di intersezione, risolvendo il sistema formato da una delle due circonferenze e l'asse radicale:

$\begin{cases} x^2+y^2+3x-y-2=0\\ y=7x-4 \end{cases}$

risolviamo per sostituzione, otteniamo:

$x^2+(7x-4)^2+x-(7x-4)-2=0$

$ x^2+49x^2-56x+16 +3x-7x+4-2=0$

$50x^2 -60x +18 = 0 $

$25x^2-30x+9 = 0 $

$(5x -3)^2 = 0 $

$5x-3 = 0 $

$x = \frac35 $

Quindi:

$\begin{cases} x=\frac 35=0\\ y=7x-4 \end{cases}$

$\begin{cases} x=\frac 35=0\\ y=7\left(\frac35\right)-4 \end{cases}$

$\begin{cases} x=\frac 35=0\\ y=\frac15 \end{cases}$

Le due circonferenze si intersecano nel punto $A\left(\frac35, \frac15 \right) $

Dunque le due circonferenze sono tangenti tra loro.

Graficamente:

saluti ? 

Ciao! 

Per stabilire la posizione reciproca delle due circonferenze mettiamole a sistema:

$\begin{cases} x^2+y^2+3x-y-2=0 \\ 2x^2+2y^2-x-y=0 \end{cases} $

Per non complicare troppo i calcoli, moltiplichiamo la prima equazione per $2$:

$\begin{cases} 2x^2+2y^2+6x-2y-4=0 \\ 2x^2+2y^2-x-y=0 \end{cases} $

e applichiamo la tecnica della riduzione, ottenendo:

$6x+x-2y+y-4= 0 $

$7x -y -4 = 0 $

$y = 7x-4 $

Questo significa che i punti intersezione tra le due circonferenze stanno su questa retta.

Intersechiamo questa retta con una delle due circonferenze, ad esempio la prima:

$\begin{cases} x^2+y^2+3x-y-2=0 \\ y = 7x-4 \end{cases} $

ottenendo:

$x^2+(7x-4)^2+3x-(7x-4)-2=0$

$x^2+49x^2+16-56x +3x-7x+4-2 = 0 $

$50x^2 -60x +18 = 0 $

$25x^2-30x+9 = 0 $

$(5x -3)^2 = 0 $

$5x-3 = 0 $

$x = \frac35 $ quindi $y = 7\frac35 -4 = \frac15$

Quindi il punto di intersezione è $A = (\frac35; \frac15)$