[Risolto] Circonferenza

Il raggio della circonferenza non è altro che la distanza del centro C (4, -2) dalla retta data x+2y-10=0. la distanza punto retta è immediata, in quando esiste una formuletta |a*x0 + b*y0+c|/radq(a^2+b^2). Nel nostro caso |4 - 4 - 10|/radq(5)=10/radq(5)= 2*radq(5). Ne deriva che l'equazione cercata è (x-4)^2 + (y+2)^2 = 20 --> x^2 +y^2 - 8x + 4y = 0

Determina l'equazione della circonferenza di centro (4;-2) tangente alla retta di equazione x+2y=10

Ciao!

cominciamo con l'equazione di una generica circonferenza $(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = r^2$ dove il centro ha coordinate $C = (\alpha, \beta)$ e $r$ è il raggio.

Noi abbiamo le coordinate del centro, quindi possiamo sostituirle nella nostra equazione:

$(x-4)^2 + (y+2)^2 = r^2$

$ x^2 + 16 - 8x + y^2 +4 +4y = r^2 $

$ x^2+y^2 -8x+4y +20 - r^2 = 0 $

Mettiamo a sistema con l'equazione della retta e imponiamo la condizione di tangenza (cioè $\Delta = 0 $):

 

$\begin{cases} x^2+y^2 -8x+4y +20 - r^2 = 0 \\ x+2y = 10 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2+y^2 -8x+4y +20 - r^2 = 0 \\ x= 10 - 2y \end{cases}$

sostituiamo la seconda equazione nella prima:

 

$(10-2y)^2 + y^2 -8(10-2y) +4y+20-r^2 = 0$

$100 + 4y^2 - 40y +y^2 -80 +16y+4y +20-r^2 = 0 $

$5y^2 -20y +40 - r ^2 = 0 $

che è un'equazione di secondo grado il cui numero delle soluzioni determina il numero di intersezioni tra la circonferenza e la retta: la condizione di tangenza vuole che ci sia un solo punto di intersezione tra le due curve, quindi $\Delta = 0 $

$\Delta = (-20)^2 -4 (5)(40-r^2) = 400-400 +20 r^2 = 20 r^2  $

da cui

$20r^2 = 0 $

$r^2 =0 $

$ r =0$

quindi l'equazione della circonferenza che cerchiamo è:

$x^2+y^2 -8x+4y +20 - 0 = 0$

$ x^2+y^2 -8x+4y +20= 0 $

Ciao,

Essendo la retta tangente, allora il raggio della circonferenza coincide con la distanza di C dalla retta.

Scriviamo l’equazione della retta in forma implicita:

$x+2y-10=0$

Calcoliamo la distanza di C dalla retta:

$r=\frac{|ax_C+by_C+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$r=\frac{|1(4)+2(-2)-10|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=$$\frac{|4-4-10|}{\sqrt{1+4}}=$$\frac{|-10|}{\sqrt{1+4}}=$$\frac{10}{\sqrt{5}}=$$\frac{10\cdot\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$

$r=2\sqrt{5}$

 

Quindi l’equazione della circonferenza è:

$(x-x_C)^2+(y-y_C)=r^2$

$(x-4)^2+(y+2)=(2 \sqrt{5})^2$

$x^2-8x+16+y^2+4y+4=4 \cdot 5$

$x^2+y^2-8x+4y+20=20$

$x^2+y^2-8x+4y=0$

 

saluti ? 

Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre paràmetri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Determinare l'equazione di una circonferenza equivale a trovare i tre paràmetri (a, b, q).
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La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
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La distanza del punto C(4, - 2) dalla retta y = 5 - x/2 è
* d(4, - 2, (- 1/2), 5) = |((- 1/2)*4 + 5 - (- 2))|/√((- 1/2)^2 + 1) = 2*√5
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La circonferenza di centro C(4, - 2) tangente la y = 5 - x/2 è
* Γ ≡ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = (2*√5)^2 ≡
≡ x^2 - 8*x + y^2 + 4*y = 0