[Risolto] Circonferenza 2

3*x^2 - 10*x + 3*y^2 + 10*y - 32 = 0
==============================
MOTIVAZIONI
==============================
Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre paràmetri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Determinare l'equazione di una circonferenza equivale a trovare i tre paràmetri (a, b, q).
------------------------------
Ogni retta non parallela a uno degli assi coordinati si può scrivere come
* x/a + y/b = 1
e li interseca nei punti (a, 0) e (0, b).
------------------------------
Tutti e soli i punti P(x, y) equidistanti da due dati punti A(a, p) e B(b, q) giacciono sull'asse del segmento AB
* Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
* Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
==============================
NEL CASO IN ESAME
------------------------------
Ogni circonferenza centrata sulla retta
* 2*x - y = 5 ≡ y = 2*x - 5
ha centro C(k, 2*k - 5) per ogni k reale.
------------------------------
La retta
* x - y + 2 = 0 ≡ x/(- 2) + y/2 = 1
interseca gli assi cartesiani nei punti A(- 2, 0) e B(0, 2).
Ogni circonferenza per A e B è centrata sull'asse del loro segmento.
Essendo 0 != 2 si ha
* asse(AB) ≡ y = (2*(0 - (- 2))*x + (- 2)^2 - 0^2 + 0^2 - 2^2)/(2*(0 - 2)) ≡
≡ y = - x
------------------------------
Ogni circonferenza centrata sulla retta
* y = - x
ha centro C(k, - k) per ogni k reale.
------------------------------
La circonferenza Γ richiesta, per soddisfare alle due condizioni date, deve avere
A) il centro con entrambe le caratteristiche cioè dev'essere
* C(k, 2*k - 5) ≡ C(k, - k) ≡ C(5/3, - 5/3)
B) per raggio la comune distanza da C ad A o B
* r = |CA| = |CB| = √146/3
C) equazione
* Γ ≡ (x - 5/3)^2 + (y + 5/3)^2 = (√146/3)^2 ≡
≡ 3*x^2 - 10*x + 3*y^2 + 10*y - 32 = 0

i punti A e B si trovano facilmente a sono A(0,2) e B(-2, 0). A questo punto chiamerei x1 l'ascissa del centro, quindi l'ordinata del centro viene ad essere pari a 2x1-5. Quindi C (x1, 2x1-5). Adesso calcolerei il quadrato della distanza CA e della distanca CB. Per CA: (x1-0)^2 + (2x1-5-2)^2 = 5x1^2-28x1+49. Per CB: (x1+2)^2 + (2x1-5)^2 = 5x1^2-16x1+29. Adesso queste due distanze al quadrato devono essere uguali, in quanto quadrati di distanze di punti appartenenti alla circonferenza dal centro della stessa. Pertanto: 5x1^2-28x1+49=5x1^2-16x1+29 --> 12x1=20 --> x1=5/3. Ma allora y1=2x1-5=-5/3. Quindi le coordinate del centro sono C (5/3, -5/3). A questo punto il raggio al quadrato viene 146/9 e quindi l'equazione è (x-5/3)^2+(y+5/3)^2 = 146/9. 

Ciao,

Troviamo i punti A e B.

Per il punto A mettiamo a sistema la retta con l'asse x:

$ \begin{cases}x-y+2=0\\y=0\end{cases}\rightarrow\begin{cases}x+2=0\\y=0\end{cases}\rightarrow\begin{cases}x=-2\\y=0\end{cases}\Rightarrow A(-2,0)$

 

Per il punto B mettiamo a sistema la retta con l'asse y:

$ \begin{cases}x-y+2=0\\x=0\end{cases}\rightarrow\begin{cases}-y+2=0\\x=0\end{cases}\rightarrow\begin{cases}y=2\\x=0\end{cases}\Rightarrow B(0,2)$

 

Poiché AB è una corda della circonferenza, allora l’asse di AB passa per il centro.

Determiniamo l’equazione dell’asse di AB sapendo che è la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio.

Le coordinate del punto medio M di AB sono:

$x_M=\frac{-2}{2}=-1 $

$y_M=\frac{2}{2}=2$

$M (-1,1)$

Il coefficiente angolare di AB è:

$ m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2}{2}=1$

Quindi il coefficiente angolare dell'asse è:

$m=-1$

L'equazione dell'asse è:

$y-y_M=m(x-x_M)$

ossia:

$y-1=-1(x+1) \rightarrow y-1=-x-1 \rightarrow y=-x$

 

Determiniamo le coordinate del centro intersecando l’asse di AB con la retta data:

$\begin{cases}2x-y=5\\y=-x \end{cases}$$\rightarrow$$\begin{cases}2x+x=5\\y=-x \end{cases}$$\rightarrow$$\begin{cases}3x=5\\y=-x \end{cases}$$\rightarrow$$\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\y=-\frac{5}{3} \end{cases}$

 

Il centro è:

$ \left(\frac{5}{3},-\frac{5}{3}\right)$

 

Calcoliamo la misura del raggio:

$ r=\overline{CA}=$

$ \sqrt{\left(\frac{5}{3}+2\right)^2+\left(-\frac{5}{3}\right)^2}=$

$\sqrt{\left(\frac{11}{3}\right)^2+\left(-\frac{5}{3}\right)^2}=$

$\sqrt{\frac{121}{9}+\frac{25}{9}}=$

$\sqrt{\frac{146}{9}}$

 

 

Quindi l'equazione  della circonferenza è:

$(x-x_C)^2+(y-y_C)=r^2$

$\left(x-\frac{5}{3}\right)^2+\left(y+\frac{5}{3}\right)^2=\left(\sqrt{\frac{146}{9}}\right)^2$

$ x^2-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}+y^2+\frac{10}{3}y+\frac{25}{9}=\frac{146}{9}$

$ x^2+y^2-\frac{10}{3}x+\frac{10}{3}y+\frac{50}{9}-\frac{146}{9}=0$

$ x^2+y^2-\frac{10}{3}x+\frac{10}{3}y-\frac{32}{3}=0$

$ 3x^2+3y^2-10x+10y-32=0$

 

 

saluti ?