[Risolto] Circonferenza

L'equazione generale della circonferenza è

$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$

Sappiamo che la circonferenza passa per il punto T(2;-2) quindi possiamo sostituirlo nella circonferenza avendo raggio incognito: 

$(2-x_c)^2+(-2-y_c)^2=r^2$

Ed è la prima relazione con 3 incognite, ovvero le coordinate del centro e il raggio.

Sappiamo anche che la circonferenza passa per l'origine, quindi è possibile fare lo stesso procedimento, e si ha:

$(0-x_c)^2+(0-y_c)^2=r^2$

Per trovare il valore del raggio, bisogna fare la distanza punto retta dall'equazione $y=x-4$ e il punto $O(0;0)$, la cui formula è:

$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2} } $

Avendo $(x_0;y_0)=(0;0) $

Ponendo la retta r in forma implicita $x-y-4=0$, $(a;b;c)=(1,-1,-4)$

Sostituendo in d si ha:

$d=\frac{|0+0-4|}{\sqrt{1+1} }=\frac{4}{\sqrt{2} } =$

$=\frac{4 \cdot \sqrt{2} }{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} } =$

$=\frac{4 \cdot \sqrt{2} }{2} =2\sqrt{2}$

Essendo il raggio metà distanza allora basta dividere per 2 e si ha:

$r=\frac{2\sqrt{2}}{2} =\sqrt{2}$

Sostituendo il raggio nelle due espressioni abbiamo:

$(2-x_c)^2+(-2-y_c)^2=2$

$(0-x_c)^2+(-0-y_c)^2=2$

Mettendo a sistema queste due relazioni si ricavano le coordinate del centro:

$\begin{cases}(2-x_c)^2+(-2-y_c)^2=2 \\ (0-x_c)^2+(-0-y_c)^2=2\end{cases}$

Risolvendo tale sistema si ha

$(x_c;y_c)=(1;-1)$ che sono le coordinate del centro.

Sostituendole nell'equazione generale:

$(x-1)^2+(y+1)^2=2$

che possiamo riscriverla anche come

$x^2+y^2-2x+2y+1+1-2=0$

$x^2+y^2-2x+2y=0$

Ciao!

L'esercizio è sempre lo stesso: imponi il passaggio per i punti, con l'equazione che ottieni imposti il sistema con la retta, imponi la condizione di tangenza. Dato che hai ricevuto già tante risposte con spiegazioni per altre domande simili, ti lascio solo lo svolgimento senza spiegazioni!