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[Risolto] Circonferenza

  

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N 290 

Trova le equazioni delle circonferenze rappresentate nelle figure

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Ricordando la forma generale di una circonferenza di centro $C(x_c;y_c)$ e raggio r:

$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$

Possiamo trovare il raggio dividendo per 2 la distanza tra le due rette, oppure più semplicemente calcolando la distanza tra il punto A(4;2) e la retta $y=3x$

Dalla formula distanza punto-retta:

$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2} } $

e scrivendo la retta in forma implicita $3x-y=0$ sostituiamo in d:

$d=\frac{|3 \cdot 4 -1 \cdot 2+0|}{\sqrt{3^2+ (-1)^2} } =\frac{10}{\sqrt{10} } =\sqrt{10}$

Essendo la distanza, ovvero il diametro, per calcolare il raggio bisogna dividere per 2, quindi:

$r=\frac{\sqrt{10} }{2} $

Sostituendo il punto A(4;2)di appartenenza alla circonferenza si ha:

$(4-x_c)^2+(2-y_c)^2=r^2$

il quadrato del raggio è $r^2=\left(\frac{\sqrt{10} }{2}\right) ^2=\frac{10}{4} $

$(4-x_c)^2+(2-y_c)^2=\frac{10}{4}=\frac{5}{2} $

Bisogna trovare un'altra condizione per stabilire le coordinate del centro.

Ad esempio, possiamo imporre che la distanza tra le due rette è $\sqrt{10}$, una volta stabilita la seconda relazione basta impostare un sistema tra esse e determinare C.

Il valore del centro è $C(\frac{5}{2};\frac{5}{2})$

Ritornando poi all'equazione generale, sostituendo si ha:

$(x-\frac{5}{2})^2+(y-\frac{5}{2})^2=\frac{5}{2}$

che può essere scritta anche nella forma:

$x^2+y^2-5x-5y+10=0$

@principessa ciao! Perché la distanza tra le due rette dovrebbe essere il diametro? non è vero in generale

@principessa la stessa domanda per la distanza tra il pnto A e la retta: è vero solo se sono antipodali, ma non è evidenziato in nessun modo

Probabilmente era scritto nel testo dell’esercizio, perché il risultato ottenuto è lo stesso della foto. Chiedo conferma a giada se il raggio è effettivamente $\frac{\sqrt{10}}{2}$



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