[Risolto] Circonferenza

ciao,

Dal grafico abbiamo:

il centro C della circonferenza si trova sulla retta  di equazione $x=3$

$O(0;0)$

$A(2;4)$

 

Dobbiamo quindi determinare la circonferenza che passa per i punti A e O, avente il centro sulla retta.

 

Poiché  OA  è una corda della circonferenza, allora l’asse di OA  passa per il centro.

 

Determiniamo l'equazione dell'asse di OA sapendo che è la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio.

Le coordinate del punto medio M di OB sono (1; 2).

 

Il coefficiente angolare di OA è

$m=\frac{y_{A}-y_0}{x_A-x_0}=\frac{4}{2}=2$,

quindi il coefficiente angolare dell'asse è

$m'=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{2}$

 

L'equazione dell'asse è:

$y-y_M=m'(x-x_M)$

Ossia:

$y-2=-\frac{1}{2}(x-1)$

$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+2$

$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

 

Determiniamo le coordinate del centro intersecando l’asse di OA con la retta data:

$ \begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\\x=3\end{cases}$

$ \begin{cases}y=-\frac{1}{2}(3)+\frac{5}{2}\\x=3\end{cases}$

$ \begin{cases}y=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}\\x=3\end{cases}$

$ \begin{cases}y=1\\x=3\end{cases}$

 

Il centro è:

$C(3;-1)$

 

Calcoliamo la misura del raggio:

$ r=\overline{CA}=\sqrt{(3-2)^2+(1-4)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$

 

Quindi l'equazione  della circonferenza è:

$(x-x_C)^2+(y-y_C)=r^2$

$(x-3)^2+(y-1)=( \sqrt{10})^2$

$x^2-6x+9+y^2-2y+1=10

$x^2+y^2-6x-2y=0$

 

saluti ? 

Ciao!

Sappiamo che la circonferenza che stiamo cercando passa per i punto $O(0;0)$ e $A(2;4)$ e inoltre l'ascissa del centro è $\alpha = 3$.

Data la condizione sul centro, l'equazione generica della circonferenza è data da:
$(x-3)^2 + (y-\beta)^2 = r^2$, con $\beta=$ ordinata del centro.

Mettiamo le altre due condizioni (di passaggio per i punto A e O) a sistema:

$\begin{cases} (0-3)^2 + (0-\beta)^2 = r^2 \\ (2-3)^2 + (4-\beta)^2 = r^2 \end{cases}$

svolgiamo i conti:

$\begin{cases} 9+ \beta^2 = r^2 \\ 1 + 16 +\ beta^2 -8\beta = r^2 \end{cases} $

usiamo la tecnica del confronto:

$ 9 + \beta = 17+\beta^2 -8\beta $

$8\beta = 17-9 \Rightarrow \beta = \frac{8}{-8} = 1 $

quindi l'ordinata del centro è $\beta = -1$

Calcoliamo il raggio usando la prima equazione del sistema: $ r^2 = 9 +(-1)^2 = 10 $

allora la circonferenza ha equazione

$(x-3)^2 +(y+1)^2 = 10 $

$x^2 + y^2 -6x + 2y = 0 $