1)

$y=\frac{x-1}{x^2+16x}$

Per studiare il segno della funzione, in generale bisogna vedere dove essa è positiva e dove è negativa

Essendo una funzione fratta, prima di studiare il segno bisogna innanzitutto definire le $C.E=x^2+16\neq  0$

Studiamo la positività ponendo:

$y\geq 0$

$\frac{x-1}{x^2+16x} \geq 0$

Studiamo numeratore e denominatore.

Numeratore: $x-1\geq 0$

$ \Rightarrow  x\geq 1$

Denominatore: $x^2+16x >0$

$ \Rightarrow  x(x+16) >0$

$ \Rightarrow x>0, x>-16$

Riportiamo i segni graficamente:

Visto che stiamo studiando la positività, la funzione è

• POSITIVA per: $-16<x<0 \vee  x> 1$
• NEGATIVA per: $0<x<1$

 

2)

$y=\frac{x}{x^2-16} $

Le condizioni di esistenza sono date da $C.E=x^2-16 \neq 0$

Studiamo la positività di tale funzione

$\frac{x}{x^2-16}\geq 0$

Numeratore: $x\geq 0$

Denominatore: $x^2-16>0$

$ \Rightarrow x^2>16$

$ \Rightarrow  x<-4 \vee x>4$

Riportiamo i segni graficamente:

Visto che stiamo studiando la positività, la funzione è

• POSITIVA per: $-4<x<0 \vee  x> 4$
• NEGATIVA per: $0<x<4$

 

 

 

Ciao!

Allora, per studiare il segno della funzione dobbiamo svolgere la disequazione 

$f(x) \geq 0 $

Nel primo caso la funzione è:

$\frac{x-1}{x^2+16x} $

Inanzitutto facciamo il dominio: $x^2+16x \neq 0 $ 

$x (x+16) \neq 0 \ \Rightarrow x \neq 0 \vee x \neq -16 $

allora il dominio è $(-\infty; -16) \cup (-16; 0 ) \cup ( 0; +\infty ) $

 Studiamo il segno:

$\frac{x-1}{x^2+16x} \geq 0 $ 

studiamo separatamente numeratore (N) e denominatore (D):

$N  \geq 0 $  $x-1 \geq 0 $ $x \geq 1$

$D > 0$ $ $x(x+16) > 0 $ $D_1:  x > -16 $ e $D_1: x > 0 $

allora, facendo la tabella per lo studio del segno:

    _____ -16 _____0_______1_______

N: -                    -         -             +

D1: -               +           +             + 

D2: -              -             +             + 

tot: -                 +           -               +

A noi interessano gli intervalli con segno $+$, quindi $(-16; 0) \cup (1; +\infty) $ è la parte del piano dove la funzione è positiva, altrove invece è negativa, cioè in $(-\infty; -16) \cup (0; 1) $

 

 Esercizio 2 

$f(x) = \frac{x}{x^2-16} $

Studiamo il dominio: $x^2-16 \neq 0 $

$x^2 \neq 16 $

$x = \neq \pm \sqrt{16} \neq \pm 4 $

quindi il dominio è $(-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; +\infty) $

Studiamo il segno:

$\frac{x}{x^2-16} \geq 0 $

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

$ N\geq 0 $ $x \geq  0 $

$D > 0$, $X^2-16 > 0 $ $ x < -4 \vee x > 4 $

quindi facendo il grafico di segno:

__________ -4 ______0 ________4

N:     -                    -         +

D.     +                   -            + 

tot:  -                  +              +     

quindi, dato che a noi interessa la parte positiva, abbiamo: $(-4; +\infty) $  per la parte di piano dove è positiva, mentre la parte di piano dove è negativa è $(-\infty; -4)$