[Risolto] Circonferenza 1

Quesito molto interessante.

La trasformazione di simmetria ha equazioni

x' = 2*3 - x => x = 6 - x'

y' = 2* 0 - y => y = -y'

La circonferenza trasformata é quindi

(6 - x')^2 + (-y')^2 - 4(6 - x') - 2y' = 0

x^2 - 12x + 36 + y^2 - 24 + 4x - 2y = 0

x^2 + y^2 - 8x - 2y + 12 = 0

r = sqrt (4 + 1) = sqrt(5)

r' = sqrt (16 + 1 - 12 = sqrt(5)

https://www.desmos.com/calculator/uhcoshxe95

Ora metti a sistema le due equazioni

x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0

x^2 + y^2 - 8x - 2y + 12 = 0

sottraendo

4x -12 = 0

x = 3

3^2 + y^2 - 12 - 2y = 0

y^2 - 2y - 3 = 0

per cui la lunghezza della corda é AB = |y2 - y1| = sqrt(Delta)/|A|

= sqrt (4 + 4*1*3)/1 = sqrt (16) = 4

ed é esatto perché vedi dalla figura che le ordinate dei punti di intersezione

sono 3 e -1 la cui differenza in valore assoluto é proprio 4.

inizia trovando l'equazione di y' applicando una simmetria rispetto al punto P(3,0). 

puoi vederla come una simmetria centrale in cui troverai C' (simmetrico di C rispetto P) sfruttando le formule del punto medio 

Xc'=2Xp-Xc Yc'=2Yp-Yc da cui trovi, sostituendo, le coordinate di C'. 

essendo la simmetria un'isometria il raggio di y' sarà dello stesso modulo di y, dunque trova y' avendo centro e raggio (appena calcolato da y). mettendo a sistema le due circonferenze, applicando il metodo di riduzione, trova i punti di intersezione e trovala distanza tra essi. 

* Γ ≡ x^2 + y^2 - 4*x - 2*y = 0 ≡ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5 →
→ C(2, 1), r = √5
* (C + C')/2 = P ≡
≡ ((2, 1) + (u, v))/2 = (3, 0) ≡
≡ (u = 4) & (v = - 1) →
→ C'(4,- 1), r' = √5
* Γ' ≡ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 5
* Γ & Γ' ≡ ((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5) & ((x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 5) ≡
≡ A(3 - √(3/2), - √(3/2)) oppure B(3 + √(3/2), √(3/2))
* |AB| = 2*√3