cinematica

S = 50 = a/2*ta^2+a*ta*(7,88-ta)

50 = 3,80/2*ta^2+3,8*ta*(7,88-ta)

50 = 1,90ta^2+30ta-3,8ta^2

50-30ta+1,90ta^2 = 0 

tempo acc. ta = (30±√30^2-50*1,90*4)/3,8 = 1,90 sec 

spazio di accel . Sa = 380/2*1,90^2 = 6,85 m 

vel. V = a*ta = 3,80*1,90 = 7,215 m/sec 

spazio a V costante Sc = V*(t-ta) = 7,215*(7,88-1,90) = 43,15 m 

S = Sc+Sa = 43,15 + 6,85 = 50,00 m 

 

Diciamo x ed y i tempi impiegati nei due tratti con moto uniformemente accelerato e con moto uniforme.

{x + y = 7.88

{1/2·3.8·x^2 + 3.8·x·y = 50

Risolvi con il metodo della sostituzione ed ottieni:

[x = 13.86152242 ∧ y = -5.981522425, x = 1.898477574 ∧ y = 5.981522425]

Ti serve solo la seconda per ovi motivi

x=1.898 s  ∧  y = 5.982 s 

La distanza percorsa durante la fase di accelerazione è quindi:

s=1/2·3.8·1.898^2 = 6.84 m

S1 = 1/2 a t1^2; Spazio percorso in fase di accelerazione.

v = a * t1;

v = 3,80 * t1;

S2  = v * t2; Spazio percorso a velocità costante.

t1 + t2 = 7,88 s;

t2 = 7,88 - t1;

S1 + S2 = 50 m.

S = 1/2 * a * t1^2 + v * t2;

50 = 1/2 * 3,80 * t1^2 + 3,80 * t1 * (7,88 - t1);

50 = 1,90 * t1^2 + 29,944 * t1 - 3,80 * t1^2;

 - 1,90 * t1^2 + 29,944 * t1 - 50 = 0;

1,90 t1^2 - 29,944 * t1 + 50 = 0;

t1 = [29,944 +- radice(29,944^2 - 4 * 1,90 * 50)]/ (2 * 1,90);

t1 = [29,944 +- radice(516,64)] / 3,80;

t1 = [29,944 +- 22,73] /3,80;

t1 = [29,944 - 22,73] / 3,80 = 1,90 s; tempo di accelerazione.

S1 = 1/2 * a * t1^2 = 1/2 * 3,80 * 1,90^2 = 6,86 m. (Spazio in fase di accelerazione).

I due tratti misurano x e 50 - x. Quindi deve essere 0 <= x <= 50

 

Detti t1 e t2 i due tempi - ottieni il sistema seguente

 

{ 1/2 a t1^2 = x

{ vf = a t 1

 { at1 t2 = 50 - x

{ t1 + t2 = 7.88

 

t1^2 = 2x/a => t1 = rad(2x/a)

 

t2 = (50 - x)/(at1) = (50 - x)/rad(2ax)

e ricomponendo

 

rad(2x/a) + (50-x)/rad(2ax) = 7.88

moltiplico per rad(2ax)

 

rad (2x/a * 2ax) + 50 - x = 7.88 rad(2ax)

2x + 50 - x = 7.88 rad(7.6 x)

x + 50 = 7.88*rad(7.6x)

 

x^2 + 100x - 7.88^2*7.6 x + 2500 = 0

 

x^2 - 371.92 x + 2500 = 0

 

le due radici sono 365.072 (inaccettabile perché superiore a 50) e 6.848

 

Così x = 6.85 m.

 

 

Un punto materiale che parte da fermo dall'origine delle ascisse s all'istante zero con accelerazione costante
* a = 3,80 = 19/5 m/s^2
si muove secondo le leggi
* s(t) = (a/2)*t^2 = (19/10)*t^2
* v(t) = a*t = (19/5)*t
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All'istante T > 0 raggiunge la velocità massima
* V = v(T) = (19/5)*T
all'ascissa
* S = s(T) = (19/10)*T^2
che è il risultato richiesto.
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Un punto materiale che parte dall'ascissa
* S = (19/10)*T^2
all'istante T con velocità costante
* V = (19/5)*T
si muove con la legge
* s(t) = S + V*(t - T) = (19/10)*T^2 + (19/5)*T*(t - T) = (19/10)*T*(2*t - T)
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All'istante finale
* F = 7,88 = 197/25 s > T
raggiunge la meta dei 50 m; quindi la soluzione del problema si ottiene da
* s(F) = (19/10)*T*(2*F - T) = (19/10)*T*(2*197/25 - T) = 50 ≡
≡ T = (197 ± √(424871/19))/25
cioè, dovendo essere
* 0 < T < F
la soluzione è
* T = (197 - √(424871/19))/25 ~= 1.9 s
da cui il risultato richiesto
* S = (19/10)*T^2 = (19/10)*((197 - √(424871/19))/25)^2 =
= (581121 - 197*√8072549)/3125 ~= 6.848012 ~= 6.85 m