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Calcola per quali valori di K, se esistono, l'equazione 2kx^2 + (k
-2) y^2 = 1 rappresenta:
a. un'ellisse;
b. una circonferenza;
c. un'ellisse con i fuochi sull'asse y che ha l'asse maggiore doppio del minore.

9F60BABE D2D2 4AD8 8103 524603C3A427

 

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L'equazione
* Γ(k) ≡ 2*k*x^2 + (k - 2)*y^2 = 1
con
* a^2 = 1/(2*k)
* b^2 = 1/(k - 2)
si riscrive nella forma delle coniche a centro non degeneri, centrate nell'origine e con assi di simmetria giacenti sugli assi coordinati,
* Γ(k) ≡ x^2/(1/(2*k)) + y^2/(1/(k - 2)) = 1
che però, stante la variabilità di k sull'asse reale, può anche rappresentare coniche degeneri e/o non a centro.
In particolare.
---------------
b) Γ rappresenta una circonferenza se i semiassi sono positivi ed eguali
* √(1/(2*k)) = √(1/(k - 2)) ≡ k = - 2
* Γ(- 2) ≡ x^2 + y^2 = - 1/4
circonferenza complessa con raggio immaginario: la conica degenera in una coppia di rette complesse.
---------------
a) Γ rappresenta un'ellisse se i semiassi sono positivi e diversi
* √(1/(2*k)) != √(1/(k - 2)) ≡ k > 2
---------------
c) Γ rappresenta
c1) un'ellisse se b != a
c2) con i fuochi sull'asse y se b > a
c3) che ha l'asse maggiore doppio del minore se b = 2*a
* √(1/(k - 2)) = 2*√(1/(2*k)) ≡ k = 4
http://www.wolframalpha.com/input?i=2*k*x%5E2-%282-k%29*y%5E2%3D1+where+k%3D4

 

 




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Ciao.

2·k·x^2 + (k - 2)·y^2 = 1 

quindi:

{a^2 = 1/(2·k)

{b^2 = 1/(k - 2)

rappresenta ellisse se:

{2·k > 0

{k - 2 > 0

risolvo sistema: [k > 2]

rappresenta una circonferenza se:

{2·k = k - 2

{k > 2

Dalla prima: k = -2 che risulta incompatibile con la 2^ condizione. Quindi IMPOSSIBILE!

rappresenta una ellisse con i fuochi sull'asse y che ha l'asse maggiore doppio del minore, se:

{b^2 = 4·a^2

{k > 2

Quindi dalla prima:

1/(k - 2) = 4·1/(2·k)------> 2·k = 4·(k - 2)------> 2·k = 4·k - 8

- 2·k = -8---------> k = 4 compatibile con la seconda condizione k > 2

 

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