[Risolto] Chiarimento es. su circonferenza

@mirea00

Ti suggerisce qualcosa la figura seguente:

La corda AB è comune alle due circonferenze!

Continuo

asse segmento AB:

√((x - 2)^2 + (y - 4)^2) = √((x - 0)^2 + (y - 2)^2) equidistanza da A e da B

√(x^2 - 4·x + y^2 - 8·y + 20) = √(x^2 + y^2 - 4·y + 4)

elevo al quadrato e risolvo:

y = 4 - x

Le coordinate del centro C circonferenza sono quindi:

[α, 4 - α]

conosco il raggio per cui r^2=10

equazione cartesiana:

(x - α)^2 + (y - 4 + α)^2 = √10^2

(2 - α)^2 + (4 - 4 + α)^2 = √10^2

si perviene a: α^2 - 2·α - 3 = 0----->(α + 1)·(α - 3) = 0--->α = 3 ∨ α = -1

quindi 2 circonferenze:

(x - 3)^2 + (y - 4 + 3)^2 = √10^2

(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 10   equazione cartesiana

x^2 + y^2 - 6·x - 2·y = 0 (implicita)

(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = √10^2

x^2 + y^2 + 2·x - 10·y + 16 = 0

 

 

NON HA FATTO COME IMMAGINI TU (che scegli sempre l'approccio più complesso), ma ha fatto QUASI come io t'invito a fare: anzitutto le proprietà geometriche!
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Che cos'è l'asse del segmento di estremi A(2, 4) e B(0, 2)?
E' il luogo dei punti P(x, y) da essi equidistanti: perciò la sua equazione si scrive eguagliando le due distanze
* asse(AB) ≡ |PA| = |PB|
con
* |PA| = √((x - 2)^2 + (y - 4)^2)
* |PB| = √(x^2 + (y - 2)^2)
da cui
* asse(AB) ≡ √((x - 2)^2 + (y - 4)^2) = √(x^2 + (y - 2)^2) ≡
≡ ((x - 2)^2 + (y - 4)^2) = (x^2 + (y - 2)^2) ≡
≡ ((x - 2)^2 + (y - 4)^2) - (x^2 + (y - 2)^2) = 0 ≡
≡ - 4*(x + y - 4) = 0 ≡
≡ y = 4 - x
E POI RESTA ANCORA DA TROVARE I CENTRI
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Ma (e anche questo te l'ho detto un paio di volte!) il libro che usi ha la tua stessa tendenza a non scegliere la semplicità.
Per trovare i centri delle circonferenze per A(2, 4) e B(0, 2) con raggio r = √10 la via più semplice è di cercarli direttamente, con la costruzione che l'insegnante di disegno ti spiegò in seconda media: s'intersecano le circonferenze con raggio r = √10 centrate in A e B: le intersezioni sono i centri occorrenti e, congiungendole, si traccia l'asse di AB.
* ΓA ≡ (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 10
* ΓB ≡ (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 10
* ΓA & ΓB ≡ ((x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 10) & (x^2 + (y - 2)^2 = 10) ≡
≡ C(- 1, 5) oppure C(3, 1)
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ATTENZIONE
La complessità di
* ((x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 10) & (x^2 + (y - 2)^2 = 10)
è pari a quella di
* √((x - 2)^2 + (y - 4)^2) = √(x^2 + (y - 2)^2)
ma questa necessita dopo di ulteriori calcoli: è perciò che affermo la maggir semplicità di quella.
Il tuo approccio poi (trovare la retta e il punto medio M del segmento AB, fare la normale in M e poi trovare i centri sulla normale) è ancora più dispendioso.