Che giorno è ?

La soluzione al quesito può essere trovata nell'aritmetica modulare. In questa branca della matematica ( chiamata anche aritmetica dell'orologio ) i numeri "$si$ $avvolgono$ $su$ $se$ $stessi$". Per esprimere questo concetto concentriamoci sul quesito iniziale. Sappiamo che i giorni si susseguono uno dopo l'altro creando una sorta di ciclo all'infinito.

Chiamiamo  $S$  l'insieme dei giorni della settimana :  $S$ $=$ $\bigl\{$  $Lunedì$,  $Martedì$,  $Mercoledì$, $Giovedì$,  $Venerdì$,  $Sabato$,  $Domenica$  $\bigr\}$.

Quindi se volessimo effettuare delle banali operazioni di addizione sui giorni il risultato sarà sempre contenuto nell'insieme $S$.

Esempio : 

$Domenica$  $+$  $Venerdì$  $\iff$  $6$  $+$  $4$  $=$  $10$ 

Ma il giorno $10$ non esiste in $S$  poiché i giorni terminano a $Domenica$ $=$ $6$.  Come risolviamo questo problema ?

Ricominciando a contare da  $Lunedì$,   quindi :   $Lunedì$ $=$ $7°$giorno,  $Martedì$ $=$ $8°$giorno,  $Mercoledì$ $=$ $9°$giorno e $Giovedì$ $=$ $10°$giorno.  Dunque, in qualche modo, $10$ risulta essere equivalente a $Giovedì$ $=$ $3$.

Cerchiamo di capire come generalizzare questo concetto, affinché ad ogni giorno venga associato un valore $\in$ $\bigl\{$  $0$ , $1$ , . . . , $6$ $\bigr\}$

Possiamo notare che ogni qualvolta che ricominciamo a contare da  $Lunedì$  il numero di giorni si "$resetta$". In maniera un pò più formale possiamo dire che ogni qualvolta il giorno della settimana risulta essere multiplo di $7$ si resetta e ritorna allo stato iniziale ( $Lunedì$ ). Visto che risulta essere un multiplo allora necessariamente il resto della divisione per $7$ risulta essere uguale a  $0$. Diverso da  $0$  altrimenti. 

Ma come sappiamo il resto  $r$  e' quel numero naturale tale che :  $0$  $\leq$  $r$  $<$  $| m |$  con $m$ divisore. Sostituendo al posto di  $m$  il numero  $7$ otteniamo che  $0$  $\leq$  $r$  $<$  $7$ cioè che il resto varia tra $0$  e  $6$  come i nostri giorni della settimana. Dunque quello che dobbiamo fare è calcolare il resto della divisione tra la nostra incognita e $7$ per trovare la soluzione. In funzione del resto sappiamo esattamente che giorno sarà.

Supponiamo che oggi sia $Giovedì$ $=$ $3$. E supponiamo di verificare che giorno sarà tra $200$ giorni. Chiamiamo $n$ la nostra incognita :

$n$  $=$  $3$  $+$  $200$  $\iff$  $n$  $=$  $203$

Quindi $n$  è il $203°$ giorno a partire da $Giovedì$. Andiamo a verificare tramite la divisione con resto il giorno $vero$ $e$ $proprio$. Dunque :

$203$  $=$  $7$ $\cdot$ $29$ $+$ $0$

Il resto della divisione tra  $203$  e  $7$  è  $0$. In conclusione fra  $200$  giorni, a partire da $Giovedì$ $=$ $3$, sarà $Lunedì$ $=$ $0$. 

In modo analogo avremmo potuto ricavare la soluzione in questo modo ( risolvendo una congruenza modulo $7$  ) : 

$n$ $\equiv_{ 7 }$ $x$  $\bigl($  con $x$ $\in$ $S$ $\bigr)$ $\iff$ $7$ $|$ $n$ $-$ $x$.   Ma ciò equivale a dire che $n$ $-$ $x$ è un multiplo di $7$. 

Ricordando i tanto amati criteri di divisibilità, diciamo che un numero è divisibile per $7$ se e solo se se la differenza tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è un multiplo di $7$. Riportando quanto detto in formule abbiamo che $7$ $|$ $n$ $-$ $x$ $\iff$ $n$ $-$ $x$  può essere costruito nel modo appena detto. 

Oppure, in alternativa, verificare per ognuno dei relativi giorni chi ha resto ( resto della divisione tra il giorno e $7$ ) pari al resto della divisione tra $n$ e $7$. Calcoliamo :

Prima abbiamo concluso che :   $n$  $=$  $3$  $+$  $200$  $=$  $203$ dunque :

$n$ $\equiv_{ 7 }$ $x$ $\iff$ $203$ $\equiv_{ 7 }$ $x$  $\iff$  $7$ $|$ $203$ $-$ $x$ $\iff$  $\bigl($ $\exists$ $m$ $\in$ $\textrm{Z}$$\bigr)$ $\bigl($ $203$ $=$ $7m$ $+$ $x$  $\bigr)$ 

Possiamo notare banalmente che $rest( 203, 7 )$ $=$ $0$ ma quindi $203$ risulta essere un multiplo di $7$. Di conseguenza la nostra soluzione non può che essere $x$ $=$ $0$ $=$ $Lunedì$.