[Risolto] campo elettrico data densità volumetrica di carica

Io proverei a usare il teorema di Gauss: $\Phi(\bar E) \,=\,  \dfrac{Q_{int}}{\epsilon_{0}}$

Usando come superficie chiusa una sfera di raggio $r$:

$E \,=\, \dfrac{Q_{int}}{4 \pi\epsilon_{0}r^{2}}$

Ora bisogna capire quanto vale $Q_{int}$ :

$Q \,=\, { \displaystyle \int_{}^{}{dq} \,=\, \int_{V}^{}{\rho \, dV}}$ ossia

${ \displaystyle \int_{V}^{}{\dfrac{k}{r^{2}} \, d \Bigl( \dfrac{4}{3} \pi r^{3}\Bigr) }}$

${ \displaystyle \int_{0}^{R}{\dfrac{k}{r^{2}} \, 4 \pi r^{2} \, dr}}$

La carica totale all'interno della sfera vale $4\pi k R$, mentre la carica contenuta in una generica sfera di raggio r, interna alla prima, vale $4\pi k r$

$E \,=\, \dfrac{4\pi k r}{4 \pi\epsilon_{0}r^{2}} \,=\, \dfrac{k}{\epsilon_{0} \,r}$

Per verificare che il risultato ottenuto abbia senso provo a fare un'analisi dimensionale: il campo elettrico $E \,=\, \Bigl[\dfrac{N}{C}\Bigr]$

$k$ si può ricavare che equivale a $\Bigl[\dfrac{C}{m}\Bigr]$ 

$\epsilon_{0} \,=\, \Bigl[\dfrac{C^{2}}{N \cdot m^{2}}\Bigr]$ 

$r \,=\, \Bigl[ m \Bigr]$

$\dfrac{k}{\epsilon_{0} \,r} \,=\, \Bigl[\dfrac{C \, N \, m^{2}}{C^{2} \, m^{2}}\Bigr] \,=\,\Bigl[\dfrac{N}{C}\Bigr]$