[Risolto] Campo di esistenza di frazione algebrica

Come prima cosa cerchiamo di capire cos'è realmente il campo di esistenza di una funzione. Come avrai già sentito, il campo di esistenza di una arbitraria funzione è l'insieme di definizione della stessa funzione o dove essa è definita. Ma ciò equivale a dire che non tutti i valori che assegniamo alle nostre incognite ci permettono di ottenere un risultato sensato o, in altre parole, ci permettono di rappresentare la nostra funzione.

Fatte queste premesse cerchiamo di capire quali elementi dell'insieme $Dom$$\bigl($ $f$ $\bigr)$ possono essere scelti affinché la nostra funzione abbiamo senso.

Nelle frazioni algebriche il campo di esistenza è l'insieme formato da tutte quelle $x$ che non annullano il denominatore. Quindi basta porre il denominatore diverso da $0$.

$16x^{2}$ $-$ $\bigl($ $x$ $-$ $y$ $\bigr)$ $\neq$ $0$

Quindi ciò che dobbiamo fare è risolvere una banale equazione. Però, come possiamo notare, siamo in presenza di un prodotto notevole chiamato somma per differenza oppure differenza di quadrati. Esso permette di sviluppare senza calcoli il prodotto tra la somma di due monomi e la loro differenza. Dunque abbiamo :

$\bigl($ $\space$ $4x$ $+$ $\bigl($ $x$ $-$ $y$ $\bigr)$$\bigr)$ $\cdot$ $\bigl($ $\space$ $4x$ $-$ $\bigl($ $x$ $-$ $y$ $\bigr)$$\bigr)$ $=$ $\bigl($ $5x$ $-$ $y$ $\bigr)$ $\cdot$ $\bigl($ $3x$ $+$ $y$ $\bigr)$ $=$ $0$

Per la legge dell'annullamento del prodotto sappiamo che:

$\bigl($ $5x$ $-$ $y$ $\bigr)$ $\cdot$ $\bigl($ $3x$ $+$ $y$ $\bigr)$ $=$ $0$ $\iff$ $\bigl($ $5x$ $-$ $y$ $\bigr)$ $=$ $0$ $\space$ $\lor$  $\space$ $\bigl($ $3x$ $+$ $y$ $\bigr)$ $=$ $0$

$\bigl($ $5x$ $-$ $y$ $\bigr)$ $=$ $0$ $\iff$ $x$ $=$ $\displaystyle\frac{ y }{ 5 }$

$\bigl($ $3x$ $+$ $y$ $\bigr)$ $=$ $0$ $\iff$ $x$ $=$ $-$$\displaystyle\frac{ y }{ 3 }$

Dunque, il campo di esistenza della nostra frazione algebrica sono tutti quei valori di $x$ esclusi :

$x$ $=$ $\displaystyle\frac{ y }{ 5 }$ $\space$ $\land$ $\space$ $x$ $=$ $-$$\displaystyle\frac{ y }{ 3 }$

Puoi scomporre il denominatore e porre ogni fattore diverso da 0;

(4x)^2 - (x - y)^2 = [ 4x + x - y ] [ 4x - (x - y) ] = (5x - y) (3x + y)

5x - y =/= 0 =>   5x =/= y =>   x =/= y/5

3x + y =/= 0 =>  3x =/= - y =>  x =/= - y/3