Puoi ricavare l'espressione del potenziale elettrico partendo dal campo elettrico.
Dal teorema di Gauss so che $\Phi (\bar E) \,=\, \dfrac{q}{\epsilon_{0}}$
Prendo come superfice un cilindro coassiale di raggio maggiore del cilindro dato, in questo modo il flusso del campo elettrico è dovuto solo alla superficie laterale del cilindro visto che il versore normale alle superfici di base e il campo elettrico sono perpendicolari.
$\Phi (\bar E) \,=\, \Phi_{SL} (\bar E) \,=\, { \displaystyle \int_{SL}^{}{\bar E \cdot \bar n \cdot dS}} \, =\, E { \displaystyle\int_{SL}^{}{dS}} \, =\, E \cdot SL \,=\, E \cdot 2\pi r h$
$E \cdot 2\pi r h \,=\, \dfrac{q}{\epsilon_{0}}$
Calcolo la carica interna $q$:
$q \,=\, { \displaystyle\int_{}^{}{\rho \, dV}} \, =\,{ \displaystyle \int_{0}^{a}{\rho \, 2\pi r dr h }} \,=\, \rho \pi a^{2} h$
$E \cdot 2\pi r h \,=\, \dfrac{\rho \pi a^{2} h}{\epsilon_{0}}$
$E \,=\, \dfrac{\rho \, a^{2}}{2 \epsilon_{0}r}$
Il potenziale elettrico si calcola come:
$V(P) - V(s_{0}) \,=\, -{ \displaystyle \int_{s_{0}}^{r}{E \cdot dr}} \,=\, -{ \displaystyle \int_{s_{0}}^{r}{\dfrac{\rho \, a^{2}}{2 \epsilon_{0}r} dr}}$
$V(P) \,=\, -\dfrac{\rho \, a^{2}}{2 \epsilon_{0}} \cdot log \Bigl(\dfrac{r}{s_{0}} \Bigr)$
