[Risolto] Calcolo limiti, f.indeterminata (+∞ - ∞), SENZA TEOREMI.

Forma indeterminata del tipo +∞-∞. Vediamo di eliminare la differenza.

i) Moltiplichiamo e dividiamo per il fattore $(\sqrt{x^2+4x} -x$

ii) Usiamo la formula della differenza di quadrati e semplifichiamo

iii) Nel caso ci ritroviamo un'altra forma indeterminata, interveniamo 

i) Applichiamo il limite.

.

i) $ =\frac {(\sqrt{x^2+4x}+x)(\sqrt{x^2+4x}-x)}{\sqrt{x^2+4x}-x} = $

ii) $= \frac {x^2+4x-x^2} {\sqrt{x^2+4x}-x} =  \frac {4x} {\sqrt{x^2+4x}-x} = $

iii) Forma indeterminata del tipo ∞/∞. Dividiamo numeratore e denominatore per x 

$ = \frac {4} {\sqrt{1+\frac{4}{x}} - 1}   $

Il limite tenderà a -∞

Sbagliato!!!

Si, ma dov'è l'errore? Come fare per evitarlo?

L'errore sta nel fatto che ho usato l'uguaglianza (falsa)

$ \frac{\sqrt{x^2}}{x} = 1$

Ti è chiaro che è falsa? Infatti,

$ \frac{\sqrt{x^2}}{x} = \frac{|x|}{x} = 1$    vera se x > 0 ma  per x < 0 vale -1

Purtroppo è facile cadere in quest'errore a meno che ..., ecco un trucco per evitarlo.

Dichiara la tua allergia ai limiti che tendono a -∞. Procedi con il passo

o) Cambio di variabile per evitare brutte sorprese.  Poniamo

y = - x

Se x → - ∞ allora y → ∞

Il limite equivalente diventa

$ \displaystyle\lim_{y \to +\infty} \sqrt{y^2-4y} - y $

Moltiplichiamo e dividiamo per $(\sqrt{y^2-4y} + y)$, usiamo la differenza di quadrati e così

 $ \displaystyle\lim_{y \to +\infty} \frac {(y^2-4y-y^2 }{(\sqrt{y^2-4y} + y)} $

 $ \displaystyle\lim_{y \to +\infty} \frac {-4y }{(\sqrt{y^2-4y} + y)} $

Forma indeterminata del tipo ∞/∞. Dividiamo sopra e sotto per y

 $ \displaystyle\lim_{y \to +\infty} \frac {-4 }{(\sqrt{1-\frac{4}{y}} + 1)} = -2 $

OK.

lim_x->-oo rad(x^2 + 4x) + x =

= lim_x->+oo rad(x^2 - 4x) - x =

= lim_x->+oo [x^2 - 4x - x^2]/(rad(x^2 - 4x) + x] =

= lim_x->+oo - 4/[ 1 + rad(x^2 - 4x)/x ] =

= - 4 lim_x->+oo 1/[ 1 + rad(1 - 4/x) ] =

= -4/(1 + 1) = -2