Dato l'insieme $D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2+y^2 \leq 4, x^2 \leq y^2\right\}$, calcolare l'integrale $I=\iint_D\left(x^2+y e^{x^2}\right) d x d y$.
(a) $I=0$
(b) $I=2(\pi-1)$
(c) $I=2(\pi+1)$
(d) $I=2(\pi+2)$
(e) $I=2(\pi-2)$
(f) $I=4(\pi+2)$
Qualcuno potrebbe aiutarmi? Ho provato a farlo con le coordinate polari ma non so come risolvere l’integrale di (rho)^2sen(theta) e^(rho)^2cos^2(theta).
2
punti
Livello 0
Il dominio è costituito dalla parte interna, di un cerchio di raggio 2 e centro (0,0) e dalla funzione
$x^2\leq y^2$
che possiamo esplicitare come:
$ x \leq |y|$
$ -y \leq x \leq y$
che è la parte di piano compresa tra le bisettrici dei quadranti.
Complessivamente abbiamo dunque:
Cioè il dominio è costituito dai due settori circolari di raggio 2 e angoli compresi tra 45 e 135 e poi tra 225 e 315.
Parametrizzando il dominio in coordinate polari possiamo porre:
$ x=\rho cos\theta$
$ y = \rho sin \theta$
con $0 \leq \rho \leq 2$ e $\pi/4 \leq \theta \leq 3/4 \pi \vee 5/4 \pi \leq \theta \leq 7/4 \pi$
e jacobiano $|J|=\rho$.
Sostituendo e considerando il primo settore circolare:
$\int_0^2 \int_{\pi/4}^{3/4 \pi}(\rho^2 cos^2\theta + \rho sin\theta e^{\rho^2 cos^2 \theta})\rho d\rho d\theta =$
$\int_0^2 \int_{\pi/4}^{3/4 \pi}\rho^3 cos^2\theta d\rho d\theta + \int_0^2 \int_{\pi/4}^{3/4 \pi}\rho^2 sin\theta e^{\rho^2 cos^2 \theta} d\rho d\theta =$
Il primo integrale è semplice e (saltando i calcoli che trovi ben fatti qui https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/5393-integrale-cos2x.html) si risolve come:
$[\frac{\rho^4}{4}]_0^2[\frac{1}{2}(\theta+sin\theta cos\theta)]_{\pi/4}^{3/4 \pi} = \frac{16}{4}\cdot \frac{1}{4}(\pi -2) = \pi-2$
lasciamo un momento da parte il secondo pezzo dell'integrale.
Ovviamente nell'integrare il secondo settore circolare abbiamo allo stesso modo:
$[\frac{\rho^4}{4}]_0^2[\frac{1}{2}(\theta+sin\theta cos\theta)]_{5\pi/4}^{7/4 \pi} = \frac{16}{4}\cdot \frac{1}{4}(\pi -2) = \pi-2$
Quindi la somma di questi due pezzetti è $I=2(\pi-2)$
L'altro integrale è non solo più complicato, ma dubito si possa risolvere analiticamente.
Però osserviamo la funzione:
$f(\rho, \theta)=\rho^2 sin\theta e^{\rho^2 cos^2 \theta}$
se al posto di $\theta$, sostituiamo $-\theta$ abbiamo:
$f(\rho, -\theta)=- \rho^2 sin\theta e^{\rho^2 cos^2 \theta}$
osserviamo che i due intervalli di integrazione [45, 135] e [225, 315]=[-135, -45] sono simmetrici rispetto all'asse x e dunque nel sommare i due integrali, le funzioni semplicemente si annullano!
Quindi il risultato è dato solo dalla somma dei primi due pezzi: $I=2(\pi-2)$
Noemi
10479
punti
Livello 6
