[Risolto] Calcolo integrale

Si tratta di calcolare il lim_u->oo  S_[0,u]  x^2/(x^2 + a^2)^2 dx

Separiamo x^2 in x * x e poi integriamo per parti :

S_[0,u] x * (x *(x^2 + a^2)^(-2) ) dx =

= 1/2 S_[0,u]  x *(2x * (x^2 + a^2)^(-2) ) dx

avendo moltiplicato e diviso per 2 per far comparire 2x

Poniamo come fattore finito f(x) = x e il fattore differenziale

sarà 2x (x^2 + a^2)^(-2) dx : pertanto g(x) = (x^2 + a^2)^(-1)/(-1)

essendo 2x la derivata da x^2 + a^2.

Troviamo quindi

1/2 [ x * (-1)/(x^2 + a^2) - S 1* (-1)/(x^2 + a^2) dx ] _[0,u] =

= 1/2[ - x/(x^2 + a^2) + S dx/(x^2 + a^2) dx ]_[0,u] =

= 1/2 [ -x/(x^2 + a^2) + 1/a^2 S dx/(1 + (x/a)^2) dx ]_[0,u] =

= 1/2 [ 1/a S d(x/a) / [ 1 + (x/a)^2 ] - x/(x^2 + a^2) ]_[0,u] =

= 1/2 [ 1/a * arctg*(x/a) - x/(x^2 + a^2) ]_[0,u] =

= 1/2 [ 1/a * arctg*(u/a) - u/(u^2 + a^2) ]

la primitiva vale 0 in 0,

essendo lim_u->+oo  u/(u^2 + a^2) = 0

resta  1/(2a) lim_u->+oo arctg*(u/a).

Se é a > 0    otteniamo   1/(2a) * pi/2 = pi/(4a).

Se é a < 0, otteniamo - 1/(2|a|) * (-pi/2) = pi/(4|a|).

Se a = 0 l'integrale non converge a causa della singolarità intorno a 0,

infatti      S x^2/(x^2)^2 dx = S 1/x^2 dx = -1/x

che non dà problemi in un intorno di +oo ma ha limite infinito per x -> 0+.

Dunque    S_[0,+oo]  x^2/(x^2 + a^2)^2 dx = pi/(4|a|)    con a =/= 0.