Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
11881
punti
Livello 2
Sino al punto b)
y = a·x^3 + (2·a + 1)·x^2 + 3·a·x + 2·a
rappresenta al variare di a un fascio di cubiche. Determiniamo per esso gli eventuali punti base (del fascio). Quindi riscriviamo:
a·x^3 + (2·a + 1)·x^2 + 3·a·x + 2·a - y = 0
a·(x^3 + 2·x^2 + 3·x + 2) + x^2 - y = 0
e consideriamo il sistema:
{x^3 + 2·x^2 + 3·x + 2 = 0
{x^2 - y = 0
risolviamo ed otteniamo: [x = -1 ∧ y = 1]
A [-1, 1] : tutte le parabole cubiche passano per tale punto (unico punto base)
-----------------------------------------------
y' = 3·a·x^2 + 2·x·(2·a + 1) + 3·a
devi prendere l'equazione associata:
3·a·x^2 + 2·x·(2·a + 1) + 3·a = 0
ed imporre che sia:
Δ/4 < 0
In tal caso la funzione risulterà sempre crescente o sempre decrescente in quanto y' manterrà lo stesso segno.
(2·a + 1)^2 - (3·a)^2 < 0
(1 - a)·(5·a + 1) < 0
Quindi: a < - 1/5 ∨ a > 1
pertanto per tali valori risulterà invertibile.
115496
punti
Genius III