Calcolo differenziale

$ f(x) = |(x+a)ln(x+b)| $

a.   dal grafico emerge che:

• $ f(-1) = 0 \; ⇒ \; |(a-1)ln(b-1)| = 0 \; ⇒ \; (a-1)ln(b-1) = 0 $
• $ f(1) = 0 \; ⇒ \; |(a+1)ln(b+1)| = 0 \; ⇒ \; (a+1)ln(b+1) = 0 $  

Risolviamo il sistema di due equazioni nelle incognite a, b

$ \begin{cases} (a-1)ln(b-1) = 0 \\ (a+1)ln(b+1) = 0 \end{cases} $

che ammette due soluzioni:

1. a = 1 ∧  b = 0; il cui grafico non è quello del testo, da scartare
2. a = -1 ∧  b = 2; O.K.

b. 

i)  Rolle in [-3/2, 3/2] ? 

• $ f(-\frac{3}{2}) = \frac{5ln(2)}{2}$
• $ f(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2}ln(\frac{7}{2})$ 

Agli estremi dell'intervallo i valori sono diversi. Rolle non è applicabile.

ii) Lagrangia in [-1,1]

f(-1) = f(1) = 0

Per Lagrangia esiste almeno un punto c∈(-1, 1) tale che

$ \frac{f(1) - f(-1)}{2} = f'(c)$

$ f'(c) = 0$

$sgn((c-1)log(c+2)) \cdot (\frac{c-1}{c+2} + ln(c+2)) = 0 $

La funzione sgn non si annulla (vale -1 o +1), quindi

$ ln(c+2) = -\frac{c-1}{c+2}$

$ (c+2)ln(c+2) = 1- c $

Abbiamo trovato una c che risolve l'equazione

$ (x+2)ln(x+2) = 1-x $