Calcolo differenziale

$\textbf{a.}$

$f(x)$ è dispari se $f(x)=-f(-x)$ per definizione di funzione dispari, quindi:

$x-\arctan(x)= -(-x-\arctan(-x))$

$x-\arctan(x)=x+ \arctan(-x)$

$\arctan(x) = \arctan(-x)$ 

che è un'identità dal momento che $\arctan(x)$ è dispari, quindi $f(x)$ è anch'essa dispari.

$\textbf{b.}$

Banale, essendo $f(x)=x-\arctan(x)$, si sta dicendo che:
$x-\frac{\pi}{2} <x-\arctan(x)<x+\frac{\pi}{2}$

sottraendo $x$ a ciascuno dei membri abbiamo che
$-\frac{\pi}{2} < -\arctan(x) < \frac{\pi}{2}$

$-\frac{\pi}{2} <\arctan(x) < \frac{\pi}{2}$

che è ovvio dato che $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ è l'insieme immagine di $\arctan(x)$ o il dominio di $\tan(x)$ se ti sembra più ovvio.

$\textbf{c.}$

Una delle ipotesi del teorema di Rolle è che preso un intervallo $[a,b]$ $f(a)=f(b)$, quindi nel caso dell'intervallo $f(k)=f(-k)$, che non è possibile perché $f(x)$ è dispari, quindi $\forall x\ f(x) = -f(-x)$, che è  equivalente al primo caso solo se $f(k)=-f(k) \implies f(k)=0$, che si ha per $k=0$, quindi $-k=k$ che contraddice le premesse del teorema. Esiste un punto stazionario, ossia un $x_0$ per cui $f'(x_0)=0$. $1-\frac{1}{x^2+1} = 0 \implies x^2+1-1=0 \implies x=0$.

$\textbf{d.}$

La funzione è crescente quando $f'(x) >0 \implies 1-\frac{1}{x^2+1} >0 \implies \frac{x^2}{x^2+1} >0 \implies x \neq 0$ (perché sia il numeratore che il denominatore sono sempre positivi, tranne nel caso in cui $x=0$ allora la derivata è $0$ come abbiamo già visto). Essendo la funzione crescente monotona in $\mathbb{R}$, è ovvio che è anche iniettiva (perché $x_1 > x_2 \implies f(x_1) > f(x_2) \forall x \in \mathbb{R}$) e suriettiva in $\mathbb{R}$, quindi è anche invertibile.