Calcolo differenziale

y = a·x^2 + b·x + c

{-2 = a·0^2 + b·0 + c   passa per [0, -2]

{- 7/3 = a·(1/3)^2 + b·(1/3) + c    passa per [1/3, - 7/3]

{x = 1/3  asse parabola : - b/(2·a) = 1/3

Quindi  risolvo:

{c = -2

{a/9 + b/3 + c = - 7/3

{b/a = - 2/3

ed ottengo: [a = 3 ∧ b = -2 ∧ c = -2]

y = 3·x^2 - 2·x - 2

Determino quindi retta tangente in P:

x = 1:  y = 3·1^2 - 2·1 - 2----> y = -1

P [1, -1]

y' = 6·x - 2---> m = 6·1 - 2---> m = 4

y + 1 = 4·(x - 1)---> y = 4·x - 5

Determino A

{3·x - 2·y = 0

{y = 4·x - 5

risolvo ed ottengo: [x = 2 ∧ y = 3]

A [2 ,3]

---------------------------------

f(x) = ABS(m·x/(x - 3)) - 5

f(x) passa per A

3 = ABS(m·2/(2 - 3)) - 5

3 = 2·ABS(m) - 5

2·m = ±8----> m = -4 ∨ m = 4

In grassetto la soluzione desiderata

f(x) = ABS(4·x/(x - 3)) - 5

equivale ad una funzione definita a tratti:

ABS(4·x/(x - 3)) = 4·x/(x - 3)

se risulta 

4·x/(x - 3) ≥ 0---> x ≤ 0 ∨ x > 3

ABS(4·x/(x - 3)) = 4·x/(3 - x)

se risulta

4·x/(x - 3) < 0----> 0 < x < 3

Quindi :

f(x)=

{4·x/(x - 3) - 5 = (x - 15)/(3 - x)

se x ≤ 0 ∨ x > 3

{4·x/(3 - x) - 5 = 3·(3·x - 5)/(3 - x)

0 < x < 3

Asintoto orizzontale: y = -1

f'(x)=

{- 12/(x - 3)^2  per x ≤ 0 ∨ x > 3

{12/(x - 3)^2   per 0 < x < 3

Quindi la funzione è crescente per 0 < x < 3

Decrescente per valori esterni  x < 0 ∨ x > 3

-------------------------------------

f(x) non è invertibile perché non è monotona crescente né decrescente.

Si può determinare la funzione inversa solo nell'intervallo: 0 < x < 3

Per tale intervallo dobbiamo considerare la componente:

y = 3·(3·x - 5)/(3 - x)

per determinare la funzione inversa facciamo le sostituzioni:

x---> y

y---> x

x = 3·(3·y - 5)/(3 - y) che risolviamo rispetto ad y:

y = 3·(x + 5)/(x + 9)