Calcolo differenziale

a. 

$ f(x) = \begin{cases} ax^3+bx^2 \qquad \text{se  x < 1} \\ cx^2+dx+1 \quad \text{se  x ≥ 1} \end{cases} $

$ f'(x) = \begin{cases} 3ax^2+2bx \quad \text{se  x < 1} \\ 2cx+d \qquad \text{se  x ≥ 1} \end{cases} $

• retta t passante per A(-1, 2) e per B(0, -1)  cioè 3x + y + 1 = 0  ⇒ m₁ = -3 
• retta s passante per C(1, 4) e per D(2, 6)  cioè y = 2x + 2  ⇒ m₂ = 2 

i) per x < 1

◊) Passa per A  ⇒  f(-1) = 2  ⇒  b - a = 2
◊) t è la tangente in A  ⇒  f'(-1) = -3  ⇒  3a - 2b = -3

Il sistema composta dalle due equazioni ha come risultato  a = 1  ∧  b = 3

ii) per x ≥ 1

◊) Passa per C  ⇒  f(1) = 4  ⇒  c + d = 3
◊) s è la tangente in C  ⇒  f'(1) = 4  ⇒  2c + d = 2

Il sistema composta dalle due equazioni ha come risultato  c = -1  ∧  d = 4

iii) La funzione f(x) è espressa dalla 

$ f(x) = \begin{cases} x^3+3x^2 \qquad \quad \text{se  x < 1} \\ -x^2+4x+1 \quad \text{se  x ≥ 1} \end{cases} $

$ f'(x) = \begin{cases} 3x^2+6x \qquad \text{se  x < 1} \\ -2x+4 \qquad \quad \text{se  x ≥ 1} \end{cases} $

b.1 Punti stazionari

i) per x < 1
◊) f'(x) = 0  ⇔ 3x^2+6x = 0  ⇔  3x(x+2) = 0 due punti x₁ = - 2  V  x₂ = 0.
     I punti hanno coordinate (-2, 4) e O(0, 0)

ii) per x ≥ 1
◊) f'(x) = 0  ⇔ -2x + 4 = 0  ⇔  x₃ = 2.
     Il punto ha coordinate (2, 5)

b.2 Punto angoloso per x = 1

Calcoliamo le derivate laterali

$ D^-f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} 3x^2+6 = 3$
$ D^+f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f'(x) = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} -2x+4 = 2$

Le derivate laterali sono finite e diverse si tratta di un punto angoloso.

c.  retta tangente passante per O(0,0)

-) Equazione fascio rette per l'origine: y = mx.  Dal grafico si deduce che $x_P < 1$ quindi

-) intersezione f(x) rette per l'origine

$ \begin{cases} y = x^3+3x^2 \\ y = mx \end{cases} $ 

dalla quale si ricava

$ x(x^2+3x-m) = 0 $  Possiamo non considerare la x = 0 vedi ipotesi e imporre il discriminante del trinomio eguale a 0.

$ Δ = 0 \; \implies \; 9+4m = 0 \; \implies \; m = -\frac{9}{4} $

determinato m possiamo calcolare le coordinate risolvendo 

$ \begin{cases} y = x^3+3x^2 \\ y = -\frac{9}{4}x \end{cases} $ 

dalla quale ricaviamo

$ \frac{1}{4}(2x+3)^2 = 0 \; \implies \; x = -\frac{3}{2} $

e di seguito

$ y = (-\frac{9}{4})(-\frac{3}{2}) = \frac{27}{8} $