Calcolo di aree e volumi.

La funzione data si annulla nel punto:

{y = (x - 1)·e^x

{y=0

[x = 1 ∧ y = 0] ed ha C.E. tutto R, risultando negativa per x <1 e positiva per x>1.

Essendo y' =dy/dx=x·e^x si ha

y'=0 per x=0 in cui la funzione vale: 

y = (0 - 1)·e^0 ----> y = -1

[0,-1] è di minimo relativo ed assoluto. 

La derivata seconda y'' =e^x·(x + 1) per x=0: y''(0)=e^0·(0 + 1)= 1 >0 che conferma un punto di minimo

y''=0 indica il punto di flesso in corrispondenza di x = -1

Dobbiamo quindi calcolare l'area gialla e poi l'area verde e confrontarle:

0 - (x - 1)·e^x = e^x·(1 - x)

∫(e^x·(1 - x)) dx= e^x·(2 - x)

per x=0: e^0·(2 - 0) = 2

per x=-1: e^(-1)·(2 - (-1))=3·e^(-1)

Area gialla=2 - 3·e^(-1) = 0.8963616764

Area verde=e^1·(2 - 1) - 2 = e - 2 = 0.7182818284

Quindi area gialla> area verde

a. determiniamo punto di minimo e punto di flesso della funzione $f(x) = xe^x$

Verificate tutte le ipotesi necessarie segue che:

• $ f'(x) = x\,e^x \; ⇒ \; $ punto stazionario x = 0
• $ f^{(2)}(x) = (x+1) e^x $
• Segno f"(x) 
  • • f"(0) = 1 ⇒ x = 0 è il punto di minimo di f(x)
    • f"(x) < 0   in x < -1   la funzione è concava nell'intervallo (-∞, -1)
    • f"(x) > 0   in x > -1   la funzione è convessa nell'intervallo (-1, ∞)
    • f!(x) = 0   per x = -1 la funzione f(x) presenta un flesso.

b. Prima area A₁

$ A_1 = \int_{-1}^0 \; 0-(x-1)e^x \, dx = $

$ A_1 = \left. (2-x)e^x \right|_{-1}^0 = 2- \frac{3}{e}$

c. Seconda area A₂

$ A_2 = \int_0^1 \; 0-(x-1)e^x \, dx = $

$ A_2 = \left. (2-x)e^x \right|_0^1 = e - 2 $

d.  Si verifica facilmente con una calcolatrice che A₁ > A₂ 

Grafico.