Calcolo aree e volumi.

$ f(x) = x\sqrt{x+4} $

I principali elementi dello studio di funzione che permettono di disegnare il grafico

• Domino = (-4, +∞)
• Zeri. per x = -4   V  x = 0 
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
• derivata prima. $f'(x) = \frac{3x+8}{2\sqrt{x+4}}$
• punto stazionario $x = -\frac{8}{3}$ ovvero punto di minimo.
• Grafico

b.  Area regione verde

$ A = \int_{-4}^0 \; 0-x\sqrt{x+4} \, dx $    per sostituzione

Poniamo $ t = x + 4 \; ⇒ \; dt = dx $ inoltre se x = - 4 allora t = 0; se x = 0 allora t = 4

$ A = - \int_0^4 \; (t-4)\sqrt{t} \, dt $

$ A = - \int_0^4 \; (t-4)t^{\frac{1}{2}} \, dt $

$ A = - \int_0^4 \; t^{\frac{3}{2}} - 4t^{\frac{1}{2}} \, dt $

$ A = - \left. \frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}} - \frac{8}{3}t^{\frac{3}{2}}  \right|_0^4 $

$ A = \frac{128}{15} $

c.  Volume 

$ V = \pi \int_{-4}^0 \;0 - f^2(x) \, dx $

$ V = \pi \int_{-4}^0 \; - x^2(x+4) \, dx $

$ V = - \pi \int_{-4}^0 \; x^3+4x^2 \, dx $

$ V = - \pi \left. \frac{x^4}{4}+\frac{4x^3}{3} \right|_{-4}^0$

$ V = \pi \frac{64}{3}$