[Risolto] Calcolo del valore di una somma

È sempre conveniente calcolare a mano qualche valore di $f$ :

Basandoci su questa tabella, effettuiamo alcune considerazioni:

1. $f(n)=\pm 1$ per ogni $n \geqslant 1$. Per dimostrarlo rigorosamente, si può usare il principio di induzione (forte). Se $n=1, f(n)=1$ per ipotesi.

Supponiamo ora che $f(n)=\pm 1$ per ogni $n \leqslant k(k \geqslant 1) .$

Allora: se $k+1=2 m$ è pari, $f(k+1)=f(m)=\pm 1$ (per ipotesi di induzione, essendo $m \leqslant k$ ); se invece $k+1=2 m+1$ è dispari, allora $f(k+1)=[f(m)]^{2}-2=(\pm 1)^{2}-2=$ $-1$ (anche qui sfruttando l'ipotesi di induzione, essendo $m \leqslant k)$.

2. Se $n$ è una potenza di 2 , cioè se $n=2^{k}$, allora $f(n)=1$. Infatti, dividendo l'argomento della funzione ripetutamente $(k$ volte) per 2, si ha:
$$
\begin{aligned}
f(n) &=f\left(2^{k}\right)=f\left(2 \cdot 2^{k-1}\right)=f\left(2^{k-1}\right)=\\
&=f\left(2 \cdot 2^{k-2}\right)=f\left(2^{k-2}\right)=\cdots=\\
&=f(2)=f(1)=1
\end{aligned}
$$

3. Se $n$ non è una potenza di 2 , allora $f(n)=-1$. Se $n$ è dispari, lo abbiamo già visto al punto 1 ). Se $n$ è pari, deve essere $n=m \cdot 2^{k}$, dove $m$ è dispari. Possiamo rimuovere via via tutte le potenze di 2 :
$$
\begin{aligned}
f(n) &=f\left(m \cdot 2^{k}\right)=f\left(2 m \cdot 2^{k-1}\right)=f\left(m \cdot 2^{k-1}\right)=\\
&=f\left(2 m \cdot 2^{k-2}\right)=f\left(m \cdot 2^{k-2}\right)=\cdots=\\
&=f(2 m)=f(m)=-1,
\end{aligned}
$$
perché $m$ è dispari.

Possiamo ora calcolare $S:$ ci sono 7 potenze di 2 minori di 100 (da $2^{0}$ a $\left.2^{6}\right)$, in corrispondenza delle quali $f$ vale $+1$. Su tutti gli altri valori (che sono $100-7=93) f$ vale $-1$.

La somma è pertanto $S=7 \cdot(+1)+93 \cdot(-1)=-86$.