Calcolo del dominio e del segno

Problema:

Si consideri la funzione $f(x)=\frac{|\ln x| -1}{\sqrt[3]{e^{2x}-1}}$ e si individuino il dominio, il segno e le intersezioni con gli assi.

Soluzione:

Le condizioni di esistenza che devono valere per la funzione sono quella del logaritmo e quella della frazione. Queste devono valere in contemporanea.

$\{ x>0, \sqrt[3]{e^{2x}-1} \neq 0 \}$

$\{ x>0, e^{2x}-1 \neq 0 \}$

$\{ x>0, e^{2x} \neq 1 \}$

$\{ x>0, 2x \neq 0 \}$

$x>0$

Il dominio è dunque $D\equiv (0,+\infty)$.

La funzione è positiva quando $f(x)≥0$

Ossia quando 

$\frac{|\ln x| -1}{\sqrt[3]{e^{2x}-1}}≥0$

Per il numeratore si ha che $|\ln x| -1≥0$ quando $x \in (0, \frac{1}{e}] \cup [e, +\infty)$.

Mentre per il denominatore si ha che $\sqrt[3]{e^{2x}-1}>0$ quando $x>0$.

Utilizzando la tabella dei segni si ottiene che $f(x)≥0$ quando $x \in (0, \frac{1}{e}] \cup [e, +\infty)$. Ciò significa che $f(x)<0$ nel complementare di questo insieme.

Poiché si è calcolato $f(x)≥0$, già si hanno le intersezioni con l'asse delle ascisse: $x=\frac{1}{e}, x=e$.

Poiché la funzione vive in $x>0$, non possono esserci intersezioni con l'asse delle ordinate.