[Risolto] Calcolo coordinate vertice e area di un triangolo

@fortunato

Ciao. Sei proprio fortunato!

Con riferimento alla figura calcolo le coordinate di C:

{x - y - 2 = 0

{2·x - 3·y - 2 = 0

per sostituzione:

x = y + 2

2·(y + 2) - 3·y - 2 = 0

2 - y = 0-------> y = 2

x = 2 + 2------->x = 4

Quindi C(4,2)

Data quindi l'equazione dell'altezza relativa alla base AB: y = x - 2

la base stessa ha equazione del tipo:  y = -x + q

Quindi la determino:

3 = -(-2) + q---------> q = 1 retta AB  y = -x + 1

Determino B

{y = -x + 1

{2·x - 3·y - 2 = 0

risolvo B(1, 0)

Area=A = 1/2·ABS(1·2 + 4·3 + (-2)·0 - (1·3 + (-2)·2 + 4·0))

A=15/2

 

 

 

Tre punti formano triangolo se non sono allineati.
L'area del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate (v. http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo#Formule_analitiche )
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se tre punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.
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Sia H il piede su AB dell'altezza condotta dal vertice C.
Le rette
* HC ≡ x - y - 2 = 0 ≡ y = x - 2
* BC ≡ 2*x - 3*y - 2 = 0 ≡ y = (2/3)*(x - 1) hanno il punto C(4, 2) in comune.
La retta AB, ortogonale ad HC, è membro del fascio
* y = q - x
e, dovendo passare per A(- 2, 3), è
* y = 1 - x
quindi il vertice comune ad AB e BC, risulta B(1, 0).
Noti i tre vertici
* A(- 2, 3), B(1, 0), C(4, 2)
si ottiene
* S(ABC) = 15/2

{x-y-2=0

{2x-3y-2=0

 

{x=y+2

{2y+4-3y-2=0

 

{x=y+2

{y=2

 

{x=4

{y=2

C(4;2)

 

m h=-1/(-1)=1

m AB=-1/m h=-1

 

AB: y-3=-(x+2)

y=-x-2+3

y=-x+1

 

{y=-x+1

{2x-3y-2=0

 

{y=-x+1

{2x+3x-3-2=0

 

{5x=5

{y=-x+1

 

{x=1

{y=0

B(1;0)

 

AB=radice di ((3)²+(-3)²)=

=radice di (9+9)=

=radice di (18)=

=3*radice di 2

 

{y=-x+1

{x-y-2=0

 

{y=-x+1

{x+x-1-2=0

 

{y=-x+1

{2x=3

 

{y=-x+1

{x=3/2

 

{x=3/2

{y=-1/2

H(3/2;-1/2)

 

CH=radice di ((3/2-4)²+(-1/2-2)²)=

=radixe di (25/4+25/4)=

=radice di (25/2)

=5/radice di 2

 

A=(3*radice di 2*5/radice di 2)/2=

=15/2