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[Risolto] Calcolo area poligoni

  

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Buongiorno, non riesco a vedere dove sbaglio in questo problema:

LEGGI IL GRAFICO Calcola l'area dei poligoni evidenziati sfruttando i dati presenti nel grafico, sapendo che la curva tracciata in verde è una parabola.

$$
\left[\mathscr{A}_{\text {rettangolo }}=\frac{7 \sqrt{521}}{18 \sqrt{29}} ; \mathscr{A}_{\text {triangolo }}=\frac{35+\sqrt{697}}{88}\right]
$$

DE910030 04B0 4E60 A09C 85FAFAC4DF65
FD1596DB D7D2 4005 9B5C 4F389C2E8E15

 

Allora ho rappresentato su geogebra il grafico, non riesco a capire come mai neanche su geogebra ritornano le aree del libro. 

Ho trovato L'equazione della parabola passante per i tre punti dati nel testo. 

Dopodiché usando il metodo grafico , ho trovato i due punti di intersezione tra la parabola e la funzione esponenziale corrispondenti ai vertici del triangolo. Ciò mi è stato utile per calcolare l'area di quest'ultimo.

Per l'area del rettangolo invece ho trovato le coordinate di C,D,E e determinate le lunghezze di ED è  CD , ho calcolato l'area.

 

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  • Equazione della parabola passante per O(0,0); P₁(2,13/24); P₂(4,-3/4) con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate.

y = -11x²/48 +35/48 ovvero 11x²-35x+48y=0

 

  • Area rettangolo
    • altezza h. Non è altro che il valore che assume la curva esponenziale per x=2 per cui h=(1/2)² = 1/4
    • per il calcolo della base determiniamo le coordinate del punto C intersezione parabola con la retta y=1/4.

{y=1/4

{y= -11x²/48 +35x/48

le cui due soluzioni sono x=(35-√697)/22 V x=(35+√697)/22

Scegliamo la minore C((35-√697)/22, 1/4)

La lunghezza della base è quindi b = 2 - (35-√697)/22 = (9+√697)/22

Area rettangolo. Ar = b*h = [(9+√697)/22]*(1/4) = (9+√697)/88

 

NB. questa è l'area del rettangolo e non del triangolo

 

 

  • Area triangolo
    • Coordinate punti A e B
      • Notiamo che xA=1 infatti 
        • yA = (1/2)¹ = 1/2
        • yA = -11*1²/48 +35*1/48 = 1/2
      • Le coordinate di A sono A(1,1/2)
      • Notiamo che xB=3 infatti 
        • yB = (1/2)³ = 1/8
        • yB = -11*3²/48 +35*3/48 = 1/8
      • Le coordinate di B sono B(3,1/8)

 

    • Calcoliamo l'Area
      • Base b del triangolo e pari alla distanza AB

b = √((xA-xB)²+(yA-yB)²) = √((1-3)²+(1/2-1/8)²) = √(265) /8

      • altezza h 
        • retta r: passante per A e B (formula della retta per due punti)

y=-3x/16 + 11/16 cioè

        • altezza triangolo h ovvero distanza di P₁(2,13/24) dalla retta

h = |3*2+16*13/24-11|/√(3²+16²) = 11/(3*√265)

    • Area triangolo At = b*h/2 = (√(265) /8)*(11/(3√265))/2 = 11/48

 

NB. Quest'ultimo risultato risulta diverso, occorre ricontrollare i conti e dubitare che quello riportato sia corretto.

 

desmos graph (17)

 

 

 

@cmc 

quello che ottieni è giusto!

Grazie. 




2

Ricerco l'equazione della parabola ad asse verticale che deve essere del tipo:

y = a·x^2 + b·x perché il termine noto deve essere nullo (c=0) in quanto passante per l'origine

{13/24 = a·2^2 + b·2      (passa per P1(2,13/24) )

{- 3/4 = a·4^2 + b·4       (passa per P2(4,-3/4) )

Risolvo ed ottengo:

{4·a + 2·b = 13/24

{16·a + 4·b = - 3/4

[ a = - 11/48 ∧ b = 35/48 ]------------>y = 35·x/48 - 11·x^2/48

Area rettangolo. Per x=2 la funzione esponenziale y = (1/2)^x vale:

y = (1/2)^2------> y = 1/4 che è altezza del rettangolo.

L'area tua è sbagliata. Infatti:

{y = 1/4

{y = 35·x/48 - 11·x^2/48

non può fornire una base =2!

Risolvendo:

[x = (√697 + 35)/22 ∧ y = 1/4, x = - (√697 - 35)/22 ∧ y = 1/4]

equivalente a

[x = 2.790943525 ∧ y = 0.25, x = 0.3908746561 ∧ y = 0.25]

Quindi la base del rettangolo è:

2 - [- (√697 - 35)/22] = (√697 + 9)/22

Area rettangolo=base * altezza=(√697 + 9)/88

---------------------------------------------------------

Per il triangolo.

{y = (1/2)^x

{y = 35·x/48 - 11·x^2/48

Per x=1 le due funzioni forniscono il medesimo risultato:

{y=1/2

{y = 35·1/48 - 11·1^2/48 = 1/2 --------> A(1,1/2)

Poi:

anche per x=3:

{y=1/8

{y = 35·3/48 - 11·3^2/48=1/8---------->B(3,1/8)

 

area= regola dell'allacciamento delle scarpe:

A(1,1/2)

(2,13/24)

B(3,1/8)

A(1,1/2)

Area triangolo=1/2·ABS(1·(13/24) + 2·(1/8) + 3·(1/2)+

- (1·(1/8) + 3·(13/24) + 2·(1/2))) = 11/48

 

 

 

 

 

 

 



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