[Risolto] Calcolare con il metodo dei rettangoli

Interpretazione della scrittura: integrale definito in [0,2] della funzione integranda:

y=√(1 + x)=f(x)

Funzione per x ≥ 0 sempre positiva in particolare nell'intervallo richiesto. Con questo metodo si approssima il valore dell'integrale definito tramite la somma delle aree di tanti rettangoli che hanno tutti base (b-a)/n=2/10 = 0.2 e per altezza f(0);f(0.2);f(0.4);...........f(1.6);f(1.8). (se conti questi valori sono appunto 10). Siccome i rettangoli hanno tutti la stessa base, puoi fare la somma di tutti questi valori e la moltiplichi per 0.2. Occorre avere una calcolatrice. il metodo si presta anche al calcolo elettronico tramite ad esempio il F.E.Excel.

Ti dò i risultati che ho conseguito per il loro calcoli pensaci tu così ti diverti.

Risultato approssimato=2.723526224

Risultato "esatto"=2.797434948

N.B. Il risultato approssimato deriva dal fatto che la figura plurirettangoli sta sotto l'area determinata dalla curva stessa, asse delle x e rette verticali x=0 ed x=2

"Chi potrebbe ..." è una piaggeria ipocrita!
Tutti qui potrebbero e se tu non l'avessi saputo non avresti pubblicato.
Quale aiuto? Se non dici il punto dubbio, mica lo sappiamo.
Con quale esercizio? Non hai trascritto alcun testo, ci sono solo un titolo e una non formula tutta da interpretare.
Se non vuoi usare l'editor LaTeχ offerto dal sito (come io non voglio) impara a usare bene la tastiera scrivendo con una qualche "sintassi da compilatore" (soprattutto operatori e parentesi) più una manciatina di simboli UTF8 su cui fare Copia/Incolla.
Per controllare l'attendibilità delle espressioni usa WolframAlpha.
La mia interpretazione, DEL TUTTO ALBITRARIA, di ciò che avresti voluto scrivere è
« Si chiede di approssimare il valore V dell'integrale
* V = ∫ [x = 0, 2] (√(1 + x))*dx
usando il metodo dei rettangoli con dieci intervalli »
La verifica che l'espressione significhi ciò che intendo è nel paragrafo "Definite integral" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%5Bx%3D0%2C2%5D%28%E2%88%9A%281%2Bx%29%29*dx
dove, come sottoprodotto, c'è anche il valore da approssimare
* V = 2*√3 - 2/3 = (2/3 )*(3*√3 - 1) ~= 2.797434948471088
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Se è quello che intendevi anche tu allora il valore approssimato è il prodotto fra la decima parte dell'intervallo e la somma dei valori dell'integranda f(x) nei punti centrali dei dieci intervalli.
Puoi calcolarlo con WolframAlpha, se impari a chiederglielo correttamente (cosa che non hai fatto con noi umani).
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Ah, dimenticavo: prima della prossima domanda leggi il
https://www.sosmatematica.it/regolamento/
di questo sito.

Non è chiaro a quale definizione fare riferimento Darboux o Riemann.

Farò riferimento alla Definizione di Darboux calcolando l'integrale superiore e l'integrale inferiore della funzione 

y=√(1+x) nell'intervallo [0,2] con un numero di suddivisioni di pari lunghezza 1/10 pari a 10.

• Integrale superiore

 _

∫ [0,2] √(1+x) dx = (1/n)*Σᵢ [1,10] √(1+i/5) = (1/5)*14,35 = 2,87

grafico

https://www.desmos.com/calculator/jzghapqkp2

   Integrale inferiore 

∫ [0,2] √(1+x) dx = (1/n)*Σᵢ [0,9] √(1+i/5) = (1/5)*13,62 = 2,72

-

grafico

https://www.desmos.com/calculator/scxfnpnlbh

L'integrale, sarà compreso tra i due valori calcolati 

2,72 ≤ ∫ [0,2] √(1+x) dx ≤ 2,87

NB. ∫ [0,2] √(1+x) dx = 2,797