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Livello 2
Per esigenze tipografiche userò la convergenza asintotica al numeratore, cioè
$ sin(2x + e^{2x} - 1) ≈ 2x + e^{2x} - 1 $
questo è giustificato dal fatto che
$\displaystyle\lim_{x \to 0} sin (a) = \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac {sin (a)}{a} \cdot a = a$
quindi eseguiamo il
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac {2x + e^{2x} - 1}{cosx +2e^x -3}$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac {2x + e^{2x} - 1}{-1 + cosx +2(e^x -1)}$
dividiamo numeratore e denominatore per 2x
-) Numeratore; diventa $(1 + \frac{e^2x -1}{2x})$ che → 1+1 = 2$
-) Denominatore; diventa $ \frac{-1+cosx}{2x} + \frac{e^2x -1}{x} → 0 + 1 = 1$
Risultato.
Il limite dato vale 2.
.
Abbiamo usato i seguenti limiti notevoli, per x → 0
-) sin(x) / x → 1
-) (eˣ -1) / x → 1
-) (1-cos(x)) / x → 0 è un limite famoso sebbene non è classificato come notevole.
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Livello 6