Il triangolo $A B C$ è inscritto nella circonferenza di raggio 1 e ha l'angolo $\widehat{C A B}=\alpha$ tale che $\cos \alpha=\frac{4}{5}$. Posto $A \widehat{B} C=x$ e indicato con $M$ il punto medio di $A B$, calcola per quali valori di $x$ si ha: $25 \overline{ CM }^{2}-\frac{19}{4} \overline{A C}^{2}=9$
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Livello 1
AB= 2*sin[180 - (alfa+x)] = 2*sin(alfa + x)
AC= 2*sin(x)
CB= 2*sin(alfa) = 6/5
Possiamo calcolare CM utilizzando il teorema del coseno al triangolo CMB.
CM² = 36/25 + sin²(alfa+x) - (12/5)*sin(alfa+x) *cos(x)
Imponendo la condizione richiesta dal problema si ottiene:
36+25*sin²(alfa+x) - 60*sin(alfa+x)*cos(x) = 9
Ricordando che:
sin(a+b) = sin(a) *cos(b) +cos(a) *sin(b)
e che:
sin(alfa) = 3/5
cos(alfa) = 4/5
sviluppando i conti si ottiene:
36+25[3/5*cosx + 4/5*sinx]² - 60[3/5*cosx + 4/5*sinx]*cosx - 19*sin²x = 9
27 - 27*cos²x - 3*sin²x - 24*sinx * cosx = 0
24*sin²x - 24*sin x * cos x = 0
Per cui: sin(x) =0 v sin (x) = cos(x)
Scartando la soluzione non accettabile x=0, la condizione è verificata per: x=45 gradi
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Genius II
@stefanopescetto 👍👍👍
