[Risolto] Buona sera sto avendo difficoltà con lo svolgimento di questa funzione.

Per prima cosa devi definire il campo di esistenza, quindi il den deve essere diverso da $0$.

$x^2+2x-3=0$

$\Delta=16$

$x_1=1$ e $x_2=-3$

Quindi la funzione è definita per ogni x reale tranne che per $x=1$ e $x=-3$, dove avrai degli asintoti verticali.

Inoltre il denominatore è >0 per $x<-3$ U $x>1$, mentre il num è >0 per $x>-2$

Quindi per $x<-3$ --> $f(x)<0$

per $-3<x<-2$ --> $f(x)>0$

per $x=-2$ --> $f(x)=0$

per $-2<x<1$ --> $f(x)<0$

per $x>1$ --> $f(x)>0$

l'intersezione con l'asse delle $x$ è pertanto $A(-2,0)$; l'intersezione con l'asse delle y si calcola imponendo $x=0$:

$f(0)=2/-3=-2/3$

Quindi $B(0,-2/3)$ è l'intersezione con l'asse delle $y$

Studio dei limiti: 

$\lim_{x\to +\infty} f(x)=0^+$

$\lim_{x\to -\infty} f(x)=0^-$

quindi y=0 è asintoto orizzontale. La funzione non ha asintoti obliqui. Guardiamo gli asintoti verticali:

$\lim_{x\to 1^+} f(x)=+\infty$

$\lim_{x\to 1^-} f(x)=-\infty$

$\lim_{x\to -3^+} f(x)=+\infty$

$\lim_{x\to -3^-} f(x)=-\infty$

Studio della derivata prima:

la funzione è un rapporto, quindi:

$f'(x)=\frac{1*(x^2+2x-3)-(x+2)(2x+2)}{(x^2+2x-3)^2}$

$f'(x)=\frac{x^2+2x-3-2x^2-6x-4}{(x^2+2x-3)^2}$

$f'(x)=\frac{-x^2-4x-7}{(x^2+2x-3)^2}$

Per trovare eventuali punti stazionari è sufficiente studiare:

$-x^2-4x-7=0$ cioè $x^2+4x+7=0$ 

Questa equazione non ha soluzioni, quindi la funzione è monotona e in particolare è sempre decrescente (il numeratore della derivata prima è sempre negativo, mentre il denominatore è sempre positivo).

Grafico con geogebra:

Ciao!

e il grafico