Scrivi l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano per i quali il rapporto fra la distanza dal punto E(2:4) e dalla retta d: 2x + v + 2 = 0 vale 1. Spiega perché si tratta di una parabola. a. Individua le coordinate del vertice e l'equazione della tangente t nel vertice della parabola. b. Verifica che la parabola trovata è tangente alle rette r: 2x + 1 = 0 e s: y + 1 = 0 e trova i punti di tangen- za A e B. c. Determina l'area del triangolo ABC individuato dalle rette re se dalla retta congiungente A e B.
Domanda: ma qualcheduno degli esercizi che hai proposto hai provato a svolgerli da solo? Quali difficoltà hai incontrato?
Se il rapporto fra le distanze fra P(x,y) e gli altri due luoghi geometrici dati nel testo vale 1 significa che P è equidistante dagli stessi due luoghi geometrici. Di che cosa stiamo quindi parlando?
Risposta grafica alla domanda a:
Risposta analitica alla domanda a:
(x,y) è il punto generico della parabola. Misuriamo le distanze:
"Spiega perché si tratta di una parabola" PER DEFINIZIONE. Una definizione di parabola è «Luogo dei punti, del piano individuato da una retta "d" e da un punto "F" ad essa esterno, equidistanti da d e da F.» La retta * d ≡ 2*x + y + 2 = 0 ≡ y = - 2*(x + 1) e il punto * F(2, 4) non si appartengono, perciò sono direttrice e fuoco della parabola richiesta. ------------------------------ L'equazione della parabola Γ si ricava eguagliando i quadrati delle distanze da d e da F del generico punto P(x, y) * Γ ≡ |PF|^2 = |Pd|^2 ≡ ≡ (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = (2*x + y + 2)^2/5 ≡ ≡ x^2 - 4*x*y + 4*y^2 - 28*x - 44*y + 96 = 0 ≡ ≡ (x - 2*y)^2 - 4*(7*x + 11*y - 24) = 0 Un'altra definizione di parabola è «Sezione conica nella cui equazione cartesiana i termini di grado due sono il quadrato di un binomio.» ------------------------------ Nel fascio ortogonale alla d * p(q) ≡ y = x/2 + q quella per F * p(3) ≡ y = x/2 + 3 è l'asse di simmetria di Γ che la interseca nel vertice V * p(3) & Γ ≡ ≡ (y = x/2 + 3) & ((x - 2*y)^2 - 4*(7*x + 11*y - 24) = 0) ≡ V(0, 3) --------------- La parallela a d per V è la tangente di vertice * t ≡ y = 3 - 2*x --------------- Vedi la situazione al link http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-2*y%29%5E2%3D4*%287*x--11*y-24%29%2C%28-2*x-2-y%29*%28x%2F2--3-y%29*%283-2*x-y%29%3D0%5D ------------------------------ Le tangenze di Γ con le rette ortogonali * r ≡ 2*x + 1 = 0 ≡ x = - 1/2 * s ≡ y + 1 = 0 ≡ y = - 1 si verificano accertando che i punti comuni siano reali e coincidenti * r & Γ ≡ (x = - 1/2) & ((x - 2*y)^2 = 4*(7*x + 11*y - 24)) ≡ A(- 1/2, 21/4) * s & Γ ≡ (y = - 1) & ((x - 2*y)^2 = 4*(7*x + 11*y - 24)) ≡ B(12, - 1) NB: il punto C, solo nominato, è dato da * r & s ≡ C(- 1/2, - 1) ------------------------------ L'area S del triangolo rettangolo in C che ha i vertici * A(- 1/2, 21/4), B(12, - 1), C(- 1/2, - 1) è il semiprodotto dei cateti * S = |CA|*|CB|/2 = |- 1 - 21/4|*|- 1/2 - 12|/2 = 625/16
