[Risolto] Asintoti, punti stazionari e flessi.

$ y(x) = ln(2cos^2x-cosx) $

• Periodo

Dimostriamo che la funzione y(x) ha periodo 2π, laddove definita, cioè

• • cosx  ha periodo 2π
  • cos^2(x) ha periodo 2π. Essendo prodotto di due funzioni periodiche (cosx) di periodo eguale. Vedi https://www.youmath.it/formulari/65-formulari-di-trigonometria-logaritmi-esponenziali/3478-calcolo-periodo-funzioni-trigonometriche.html
  • La somma di due funzioni periodiche di egual periodo, nel nostro caso 2π è ancora una funzione periodica di periodo 2π (vedi riferimento precedente)
  • La composizione con la funzione logaritmo la mantiene periodica ma solo dove è definita.

Possiamo così limitare lo studio nell'intervallo [0, 2π)

• Dominio
  • La funzione è definita per i valori delle x reali che soddisfano la disequazione

$2 \cdot cos^2(x) - cos(x) > 0 $

$cos(x) (2 cos(x) - 1) > 0 $

0____π/3__π/2_______3π/2___5π/3____2π

++++++++0-------------0+++++++++++     cosx

++++0------------------------------0+++++      2cosx-1

++++0------0+++++++0---------0+++++      y(x)

Dominio = [0, π/3) U (π/2, 3π/2) U (5π/3, 2π)

Vi sono ben 4 ponti di discontinuità:

1. x = π/3
2. x = π/2
3. x = 3π/2
4. x = 5π/3

• Segno y(x)
  • y(x) > 0 in (2π/3, 4π/3) infatti

$ y(x) > 0 $
$2cos^2(x) - cos(x) > 1$

$2cos^2(x) - cos(x) - 1 > 0$

La cui soluzione sono le x tali che

2π/3 < x < 4π/3

• • y(x) < 0  analogamente si ricava

[0, π/3) U (π/2, 2π/3) U (4π/3, 3π/2) U (5π/3, 2π)

• • y(x) = 0  per x = 2π/3 e per x = 4π/3

• Asintoti Verticali 

(è periodica quindi ne asintoti orizzontali ne asintoti obliqui possono esistere)

considerando i punti di discontinuità avremo

• x = π/3

$ \displaystyle\lim_{x \to (\frac{\pi}{3})^-} y(x) = -\infty $

si tratta di un asintoto verticale sinistro di equazione x = π/3

• x = π/2

$ \displaystyle\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+} y(x) = -\infty $

si tratta di un asintoto verticale destro di equazione x = π/2

• x = 3π/2

$ \displaystyle\lim_{x \to (\frac{5\pi}{3})^-} y(x) = -\infty $

si tratta di un asintoto verticale sinistro di equazione x = 3π/2

• x = 5π/3

$ \displaystyle\lim_{x \to (\frac{3\pi}{2})^+} y(x) = -\infty $

si tratta di un asintoto verticale destro di equazione x = 5π/3

Grafico

https://www.desmos.com/calculator/dkw52xwnif