[Risolto] Asintoti, punti stazionari e flessi.

$ y(x) = ln(\frac{sinx}{cosx +1}) $

• Periodicità. La funzione y(x) è periodica di periodo T = 2π

• Dominio
  • • $ \ (cosx+1)  \; ⇒ \;  x ≠ π $
    • $ln (\frac{sinx}{cosx +1} ) \; ⇒ \; sin(x) > 0 \; ⇒ \; 0 \le x \lt \pi $

Vista la periodicità possiamo limitare lo studio nell'intervallo [0, 2π)

• Dominio = (0, π)
  • • Due punti di discontinuità x = 0; x = π 

• Segno
  • y(x) < 0 in (π/2, π)
  • y(x) = 0 per x = π/2
  • y(x) > 0 in (π/2, π)

• Asintoti verticali (essendo periodica non vi possono essere ne asintoti orizzontali ne asintoti obliqui)
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} y(x) = -\infty$
    • Siamo in presenza di un asintoto verticale destro di equazione x = 0
  • $ \displaystyle\lim_{x \to \pi^-} y(x) = +\infty$
    • Siamo in presenza di un asintoto verticale sinistro di equazione x = π

• Massimi / minimi assoluti

Dai due limiti si evince che:

• inf y(x) = - ∞    questo significa che non esiste il minimo assoluto
• suf y(x) = + ∞   questo significa che non esiste il minimo assoluto

• Monotonia e massimi/minimi relativi
  • derivata prima. $y'(x) = \frac{cosx}{sinx} + \frac{sinx}{cosx+1} = \frac{1}{sinx}  \qquad  \forall x \in (0, \pi)$
  • Punti stazionari. Non ci sono punti stazionari
  • Segno y'(x). La derivata è positiva nel dominio quindi la funzione risulta crescente laddove definita.

• Grafico.

• Concavità.

Con l'aiuto del grafico determiniamo la concavità della funzione. La derivata seconda

 è, a primo acchito, proibitiva.

Osserviamo che la tangente per x = π/2 taglia la curva. Questo è tipico dei flessi. In più possiamo aggiungere che:

1. le tangenti per x < π/2 stanno tutte sopra la curva e questo significa che la funzione è concava. (Lo si può verificare algebricamente)
2. le tangenti per x > π/2 stanno tutte sotto la curva e questo significa che la funzione è convessa. (Lo si può verificare algebricamente)