Asintoti, punti stazionari e flessi.

$ y(x) = \frac{1}{cos^2x - sin^2x} = \frac{1}{cos(2x)} $

i) E' una funzione pari (compaiono termini al quadrato)

ii) E' una funzione periodica di periodo T = π. Possiamo quindi studiarla nell'intervallo [0, π]

iii) Essendo periodica non avrà ne asintoti obliqui ne asintoti orizzontali. 

• Dominio = [0, π] \ {π/4, 3π/4}
  • due punti di discontinuità x = π/4 e x = 3π/4

• Zeri e Segno 
  1. Non possiede zeri
  2. Avrà lo stesso segno del cos(2x), quindi
     1. f(x) > 0   in [0, π/4) e in (3π/4, π]
     2. f(x) = 0  Ø
     3. f(x) < 0   in (π/4, 3π/4)

• Asintoti Verticali
  • per x =  π/4
    • $ \displaystyle\lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^-} f(x) = +\infty $
    • $ \displaystyle\lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^+} f(x) = -\infty $
    • C'è un asintoto di equazione x = π/4

• • per x =  π/4
    • $ \displaystyle\lim_{x \to (\frac{3\pi}{4})^-} f(x) = -\infty $
    • $\displaystyle\lim_{x \to (\frac{3\pi}{4})^+} f(x) = +\infty $
    • C'è un asintoto di equazione x = 3π/4

• Punti stazionari
  • Derivata prima $y'(x) = \frac{2tan(2x)}{cos(2x)}$
  • Punti stazionari x = π/2 e per x = π

• Flessi
  • Derivata seconda y"$(x) = \frac{4(tan^2(2x) + \frac{1}{cos^2(2x)})}{cos(2x)}$
•  
  • Flessi
    • il numeratore è sempre positivo ⇒ Nessun flesso
•  
  • max/min
    • Per x = π/4 la derivata seconda è positiva quindi si tratta di un minimo
    • Per x = 3π/4 la derivata seconda è negativa quindi si tratta di un massimo

Grafico