Asintoti

Problema:

Determinare gli asintoti della seguente funzione:

$y=\frac{1}{2-\log_2(x-1)²)}$

Soluzione:

Si può iniziare studiando gli asintoti orizzontali studiando cosa succede per $x \to \pm \infty$.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2-\log_2(x-1)²)}=0^-$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{2-\log_2(x-1)²)}=0^-$

Dato che esistono gli asintoti orizzontali, non possono esistere asintoti obliqui.

Per determinare gli asintoti verticali è necessario individuare il dominio della funzione: $2-\log_2(x-1)² \neq 0 \to 1-\log_2|x-1| \neq 0 \to \log_2|x-1| \neq 1 \to |x-1| \neq 2 \to x \neq 3, x \neq -1$.

Dunque è necessario osservare cosa succede a destra e sinistra di $x=3$ ed $x=-1$. Se i valori sono infiniti, anche discordi, allora vi è l'asintoto.

$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{2-\log_2(x-1)²)}=-\infty$

$\lim_{x \to 3^-} \frac{1}{2-\log_2(x-1)²)}=+\infty$

$\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{2-\log_2(x-1)²)}=+\infty$

$\lim_{x \to -1^-} \frac{1}{2-\log_2(x-1)²)}=-\infty$

Gli asintoti risolutano dunque essere:

Orizzontali: $y=0$

Verticali: $x=3, x=-1$.