[Risolto] Aritmetica esercizo

Di nuovo ciao, Nadya!

Hai postato addirittura 3 esercizi tutti assieme...già ti ho redarguito nella risposta al post precedente, non mi ripeto qui. Resta comunque il fatto che dovresti regolarti, da questo punto di vista.

Ad ogni modo, quest'esercizio è molto simile a quello che hai chiesto poco fa: stavolta ci cimentiamo con la base 2.

Come sai, non esiste solo la base decimale per contare. Essa è la più comoda e la più immediata (c'è chi sostiene che sia stata utilizzata questa perché abbiamo 10 dita), ma ciò non toglie che ne esistano altre (cito, a titolo di esempio, la rappresentazione in base 8 e quella in base 16).

La più importante, dopo quella decimale, è sicuramente la numerazione binaria, ovvero in base 2, senza la quale l'informatica avrebbe non pochi problemi.

L'idea è esattamente la stessa della numerazione decimale: si esprimono i numeri come somme di potenze della base, che essendo 2 permette la rappresentazione di 2 sole cifre: 0 e 1.

Ora, in teoria avendo a disposizione infiniti "posti" per inserire caratteri, si potrebbero rappresentare infiniti numeri. Questo tuttavia non è possibile (per ovvie ragioni), e quindi si costruiscono delle celle di memoria, nei calcolatori, organizzate in "scala" di potenze di 2. Infatti, come il bit è formato da un solo carattere ($ 0*2^0 $ o $ 1*2^0 $), il byte è formato da 8 bit, quindi da 8 celle di memoria, quindi da 2 cifre che possono disporsi in 8 caselle diverse. (Non mi dilungo nelle altre unità di misura, se ti interessano chiedi pure ed aggiungo.)

 

Ora, quanti numeri possiamo rappresentare con una memoria di un byte? 

Per trovarlo, dobbiamo capire come ragionare.

Noi abbiamo 2 cifre (0 e 1), e su questo non ci piove. Se avessimo a disposizione solo 2 bit, potremmo creare solo i seguenti numeri:

00 = $ 0*2^1 + 0*2^0 $

01 = $ 0*2^1 + 1*2^0 $

10 = $ 1*2^1 + 0*2^0 $

10 = $ 1*2^1 + 1*2^0 $

Abbiamo rappresentato 4 numeri, quindi esprimendo tale numero come potenza della base considerata, si ottiene $ 4=2^2 $.

Volendo rappresentare in decimale il primo numero (00) abbiamo: $ 0*2^1 + 0*2^0 = 0 $; l'ultimo numero (11), sarà, invece, $ 1*2^1 + 1*2^0 = 3 $.  

Con tre posti di memoria, invece, accade questo:

000 = $ 0*2^2 + 0*2^1 + 0*2^0 $

001 = $ 0*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 $

010 = $ 0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0 $

011 = $ 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 $

100 = $ 1*2^2 + 0*2^1 + 0*2^0 $

101 = $ 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 $

110 = $ 1*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0 $

111 = $ 1*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 $

Abbiamo ottenuto 8 numeri, che rappresentato come potenza di 2 dà $ 8=2^3 $.

Volendo rappresentare in decimale il primo numero (000) abbiamo: $ 0*2^2 + 0*2^1 + 0*2^0 = 0 $; l'ultimo numero (111), sarà, invece, $ 1*2^2+ 1*2^1 + 1*2^0 = 7 $.

Se ci fai caso, prima avevamo 4 numeri, e l'ultimo rappresentabile era 3 (ovvero 4-1); ora ne abbiamo 8, e l'ultimo rappresentabile è 7 (8-1). 

 

Possiamo, quindi, ricavare una formula generale:

Avendo n posti di memoria in un calcolatore, possiamo rappresentare $ 2^n $ numeri, che vanno da 0 a $ 2^n-1 $, dove $ 2^n-1 $ è il massimo valore che si può rappresentare.

Nel tuo caso hai 1 byte (8 bit), quindi potrai rappresentare $ 2^8 = 256 $ numeri, da 0 a $ 2^8-1 = 255 $.

 

Spero di esserti stato utile, per qualsiasi dubbio contattami. 

SPIEGAZIONE

Insieme delle parti

L'insieme delle parti di un insieme $A$, indicato con il simbolo $P(A)$, è un insieme i cui elementi sono a loro volta insiemi; l'insieme delle parti di un insieme $A$ è per definizione l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di $A$.

Cos’è l’insieme delle parti

Sia $A$ un insieme finito. L'insieme delle parti di $A$ che si indica con $P(A)$ è un insieme che ha come elementi tutti i possibili sottoinsiemi dell'insieme $A$. Con tutti intendiamo proprio tutti, anche quelli impropri, cioè l'insieme vuoto e A stesso.

Esempio

Sia $A=(1;2;3)$. Determiniamo $P(A)$.

Non dobbiamo far altro se non scrivere tutti i possibili sottoinsiemi dell'insieme $A$. Per farlo partiamo dai sottoinsiemi impropri passando poi a quelli propri e procedendo con ordine in base al numero degli elementi. In questo modo siamo certi di non dimenticarne nessuno.

Sottoinsiemi improri: $A$, Ø

Sottoinsiemi propri di 1 elemento: $(1)$, $(2)$, $(3)$

Sottoinsiemi propri di 2 elementi: $(1;2)$, $(2;3)$, $(1;3)$

Cosa sono gli elementi dell’insieme delle parti?

Come abbiamo già detto e come hai potuto notare nell'esempio precedente, gli elementi dell'insieme delle parti $P(A)$ in quanto sottoinsiemi di un insieme sono a loro volta insiemi! L'insieme delle parti è quindi un insieme di insiemi!

Quanti sono gli elementi dell’insieme delle parti? • Questa è la parte più importante •

Se $A$ è un insieme con $n$ elementi, l’insieme delle parti ne conterrà esattamente $2^{n}$. Così nell'esempio precedente poiché $A$ conteneva $n=3$ elementi, il suo insieme delle parti ne dovrebbe contenere $2^{3}=8$.

 

SOLUZIONE

Sappiamo che $1$ byte contiene $8$ bit, pertanto è come se avessimo un insieme che contiene otto elementi.

Noi dobbiamo calcolare gli elementi dell’insieme delle parti, quindi applichiamo la regola scritta sopra nella spiegazione.

$2^{8}=256$

Ciao @Nadya, spero di averti aiutata! 😊

So che non sono argomenti facili da capire, ma se leggi bene la spiegazione puoi capirli senza troppa difficoltà. Se però non ti è chiaro qualcosa, scrivimi nei commenti.