[Risolto] aritmetica

²Le risposte riportate dal libro dovrebbero far saltare la mosca al naso. 

Se imposti le tre curve su un risolutore grafico i termini del problema diventano evidenti.

https://www.desmos.com/calculator/l088ssb1vp

Se avessimo voluto seguire il procedimento per determinare le (due) tangenti ad una circonferenza passanti per un punto esterno A(-2,3) sarebbe filato tutto liscio o ....

 

1. equazione rette passanti per A(-2,3)

y = m(x+2)+3

 

2. intersezione rette/circonferenza

{y = m(x+2)+3

{x²+y²-10x+8y-8 = 0

Per sostituzione si ottiene

(1+m²)x²+(4m²+14m-10)x+(4m²+28m+25) = 0

Imponiamo la tangenza ponendo il discriminante eguale a zero (due soluzioni coincidenti)

Δ = 0

(4m²+14m-10)²-4(1+m²)(4m²+28m+25) = 0

La cui soluzione è m = 0 quindi la retta tangente ha equazione

y=m(x+2)+3 = 0+3 ⇒ y = 3.

 

3. Considerazioni finali.

Abbiamo trovato la tangente ma avevamo detto che devono essere 2. 

Il problema è nella formula della retta passante per un punto, cioè 

y = m(x+2)+3

questa equazione non rappresenta tutte le rette (fascio), ne manca una la

x = -2  

che guarda caso è proprio l'equazione dell'altra tangente.

 

Conclusione. Le due tangenti sono x = -2, y = 3.

@erobrick

Ciao. Benvenuto!

x^2 + y^2 - 10·x + 8·y - 8 = 0

Analizziamo le caratteristiche:

Centro C(5,-4) dedotte dai coefficienti a e b.

Raggio r = √(α^2 + β^2 - c)  = √(5^2 + (-4)^2 - (-8)) = √49

quindi r=7

ora osserviamo che: 5-7=-2 e poi osserviamo che -4+7=3

Cioè perché? perché le rette tangenti alla circonferenza data sono x=-2 e y=3.

CAPITO?

CHE TITOLO INCONGRUO, che c'entra l'aritmetica?
Ci sono due modi di risolvere: ti mostro prima quello sistematico (10 minuti) e poi quello ad hoc (40 secondi).
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PROBLEMA DELLE TANGENTI, RETTA POLARE, SDOPPIAMENTI
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla cònica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciàndone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
Se il punto P è interno alla cònica Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se il punto P è sulla cònica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se il punto P è esterno alla cònica Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
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PER QUEST'ESERCIZIO
* P ≡ A(- 2, 3)
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 10*x + 8*y - 8 = 0
* p(Γ, P) ≡ - 2*x + 3*y - 10*(- 2 + x)/2 + 8*(3 + y)/2 - 8 = 0 ≡
≡ y = x - 2
* p & Γ ≡ (y = x - 2) & (x^2 + y^2 - 10*x + 8*y - 8 = 0) ≡
≡ T1(- 2, - 4) oppure T1(5, 3)
La presenza di due intersezioni reali indica che P è esterno a Γ e quindi che le tangenti richieste sono le congiungenti
* AT1 ≡ x = - 2 (A e T1 hanno ascissa eguale)
* AT2 ≡ y = 3 (A e T2 hanno ordinata eguale)
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ALTRO MODO
Trasformando la forma data in forma normale standard
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 10*x + 8*y - 8 = 0 ≡
≡ (x - 5)^2 + (y + 4)^2 = 7^2
si leggono le proprietà geometriche
* centro C(5, - 4)
* raggio r = 7
e si nota che le coordinate di A(- 2, 3) eguagliano quelle di C ± r, e quindi che le tangenti richieste sono le rette coordinate di A.